[논문 리뷰] Connective eccentric index of some graph operations

Nilanjan De, Anita Pal외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 02.

Graph theory and applications참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 조인, 대칭 차집합, 분열, 스플라이스, 이중 그래프 연산을 포함한 다양한 그래프 연산에 대해 연결 중심 지수(CEI)의 명시적 공식을 유도한다. 복합 그래프의 CEI는 원본 그래프의 정점 차수와 중심도를 사용하여 계산 가능하며, 구조적 분석과 중심도 전파 규칙을 통해 닫힌 형태의 표현식이 도출됨을 규명한다.

ABSTRACT

The connective eccentric index of a graph is a topological index involving degrees and eccentricities of vertices of the graph. In this paper, we have studied the connective eccentric index for double graph and double cover. Also we give the connective eccentric index for some graph operations such as joins, symmetric difference, disjunction and splice of graphs.

연구 동기 및 목표

• 조인, 대칭 차집합, 분열, 스플라이스, 이중 그래프 연산과 같은 기본 그래프 연산에 연결 중심 지수(CEI)의 적용을 확장하기 위해.
• 특히 서로 다른 구조적 성질을 가진 그래프를 조합할 때 그래프 합성에 따라 CEI가 어떻게 변하는지 규명하기 위해.
• 원본 그래프의 CEI 및 구조적 불변량(차수, 중심도)을 바탕으로 CEI에 대한 명시적 해석적 표현식을 제공하기 위해.
• 잘 연결된 정점(중심도 1)이 이중 그래프 및 대칭 차집합과 같은 복합 그래프의 CEI에 미치는 영향을 분석하기 위해.
• 특정 그래프 가족(예: 완전 그래프, 순환 그래프, 초입방형)에 대한 이전의 CEI 결과를 더 넓은 범위의 복합 그래프 클래스로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 정점 $ v $ 의 차수 $ d_G(v) $ 와 중심도 $ \rho_G(v) $ 를 사용하여 연결 중심 지수를 $ C^\theta(G) = \frac{d_G(v)}{\rho_G(v)} $ 로 정의하고, 모든 정점에 대해 합산함.
• 이중 그래프 $ G^* $ 를 분석하여, $ G $ 의 각 정점 $ v_i $ 는 $ G^* $ 에서 두 정점 $ x_i, y_i $ 를 유도하며, 이들의 차수는 $ 2d_G(v_i) $ 이고 중심도는 $ \rho_G(v_i) $ 또는 $ \rho_G(v_i)+1 $ 이며, 이는 $ v_i $ 가 잘 연결되어 있는지 여부에 따라 다름.
• 공식 $ C^\theta(G^*) = 4C^\theta(G) - 2(n-1)\norm{n-1}_G $ 를 유도함. 여기서 $ \norm{n-1}_G $ 는 $ G $ 내에서 차수 $ n-1 $ 인 정점의 수를 의미함.
• 조인 $ G_1 + G_2 $ 에 대해, $ G_1 $ 의 모든 정점이 $ G_2 $ 의 모든 정점과 인접함을 이용하여 차수와 중심도를 수정하고, $ C^\theta(G_1 + G_2) = |V(G_2)| \theta(G_1) + |V(G_1)| \theta(G_2) $ 를 유도함.
• 대칭 차집합 $ G_1 \bigoplus G_2 $ 에 대해, 구성 요소에 잘 연결된 정점이 없으면 모든 정점의 중심도가 2임을 이용하여, $ C^\theta(G_1 \bigoplus G_2) = \frac{1}{2} \big[ |V(G_2)|^2 \theta(G_1) + |V(G_1)|^2 \theta(G_2) - 2|E(G_1)||E(G_2)| \big] $ 를 유도함.
• 분열 $ G_1 \bigvee G_2 $ 에 대해, 차수 공식 $ d_{G_1 \bigvee G_2}(u_1,u_2) = |V(G_2)|d_{G_1}(u_1) + |V(G_1)|d_{G_2}(u_2) - d_{G_1}(u_1)d_{G_2}(u_2) $ 을 적용하고 중심도가 일정한 2임을 이용하여 $ C^\theta(G_1 \bigvee G_2) = |E(G_1)||V(G_2)|^2 + |E(G_2)||V(G_1)|^2 - 2|E(G_1)||E(G_2)| $ 를 유도함.
• 스플라이스 $ S(G_1, G_2, v_1, v_2) $ 에 대해, 중심도 공식 $ \rho(x) = \text{max}\big\{ \rho_{G_1}(x), \rho_{G_2}(v_2) + 1 \big\} $ 을 사용하고, 최대 기반 중심도 표현식을 이용하여 $ G_1 $ 과 $ G_2 $ 의 정점에 대한 합으로 CEI를 유도함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 그래프 연산에서 연결 중심 지수는 어떻게 변하고, 원본 그래프의 CEI 및 정점 차수 분포를 기반으로 닫힌 형태의 표현식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 두 그래프의 조인, 대칭 차집합, 분열, 스플라이스의 연결 중심 지수는 무엇이며, 정점 차수와 중심도와 같은 구조적 성질이 결과에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 잘 연결된 정점(중심도 1)은 이중 그래프 및 대칭 차집합과 같은 복합 그래프의 CEI에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 복합 그래프의 모든 정점의 중심도가 일정해지는 조건(예: 2)은 언제 성립하며, 이는 CEI 계산을 어떻게 단순화하는가?
• RQ5 복잡한 그래프 연산의 CEI는 원본 그래프의 불변량(예: 간선 수, 정점 수, 총 중심도)만을 사용하여 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 이중 그래프 $ G^* $ 의 연결 중심 지수는 $ C^\theta(G^*) = 4C^\theta(G) - 2(n-1)\norm{n-1}_G $ 로 주어지며, 여기서 $ \norm{n-1}_G $ 는 $ G $ 내에서 차수 $ n-1 $ 인 정점의 수임.
• 조인 $ G_1 + G_2 $ 에 대해, CEI 는 $ C^\theta(G_1 + G_2) = |V(G_2)| \theta(G_1) + |V(G_1)| \theta(G_2) $ 로 주어지며, 여기서 $ \theta(G) $ 는 $ G $ 의 모든 정점의 중심도 합임.
• 대칭 차집합 $ G_1 \bigoplus G_2 $ 에 대해, 양측 그래프에 잘 연결된 정점이 없으면 CEI 는 $ C^\theta(G_1 \bigoplus G_2) = \frac{1}{2} \big[ |V(G_2)|^2 \theta(G_1) + |V(G_1)|^2 \theta(G_2) - 2|E(G_1)||E(G_2)| \big] $ 로 주어짐.
• 분열 $ G_1 \bigvee G_2 $ 에 대해, 동일한 조건(잘 연결된 정점 없음) 하에 $ C^\theta(G_1 \bigvee G_2) = |E(G_1)||V(G_2)|^2 + |E(G_2)||V(G_1)|^2 - 2|E(G_1)||E(G_2)| $ 로 주어짐.
• 스플라이스 $ S(G_1, G_2, v_1, v_2) $ 에 대해, CEI 는 $ C^\theta(S) = \textstyle\bigsum_{x \notin v_1} \frac{d_S(x)}{\text{max}\big\{ \rho_{G_1}(x), \rho_{G_2}(v_2) + 1 \big\}} + \textstyle\bigsum_{y \notin v_2} \frac{d_S(y)}{\text{max}\big\{ \rho_{G_2}(y), \rho_{G_1}(v_1) + 1 \big\}} $ 로 주어지며, 중심도는 거리와 구성 요소 중심도를 기반으로 정의됨.
• 표준 그래프인 $ K_n $, $ C_n $, $ Q_m $, $ \text{Prism}_m $, $ \text{Antiprism}_m $ 의 CEI 는 명시적으로 계산되어 유도 과정의 기초 사례로 사용됨.