[논문 리뷰] Connectivity of orientations of 3-edge-connected graphs

Florian Hörsch, Zoltán Szigeti|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 06.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 3-edge-connected 그래프 G에서 각 간선이 적어도 한 방향성에서 제거 가능해지는 데 필요한 최소 방향성 수인 Frank 수 f(G)를 도입한다 (즉, 제거 후에도 강연결성은 유지된다). 모든 3-edge-connected 그래프에 대해 f(G) ≤ 7임을 증명하고, Petersen 그래프에 대해 f(G) = 3임을 규명하며, 한 방향성에서 모든 간선을 제거 가능하게 하는 决定 문제의 NP-완전성을 보인다. 이 작업은 Berge-Fulkerson 추측과 연결되며, 모든 3-edge-connected 그래프에 대해 f(G) ≤ 3임을 제안하는 추측을 제기한다.

ABSTRACT

We attempt to generalize a theorem of Nash-Williams stating that a graph has a $k$-arc-connected orientation if and only if it is $2k$-edge-connected. In a strongly connected digraph we call an arc {\it deletable} if its deletion leaves a strongly connected digraph. Given a $3$-edge-connected graph $G$, we define its Frank number $f(G)$ to be the minimum number $k$ such that there exist $k$ orientations of $G$ with the property that every edge becomes a deletable arc in at least one of these orientations. We are interested in finding a good upper bound for the Frank number. We prove that $f(G)\leq 7$ for every $3$-edge-connected graph. On the other hand, we show that a Frank number of $3$ is attained by the Petersen graph. Further, we prove better upper bounds for more restricted classes of graphs and establish a connection to the Berge-Fulkerson conjecture. We also show that deciding whether all edges of a given subset can become deletable in one orientation is NP-complete.

연구 동기 및 목표

• 단일 방향성의 요구 조건을 다수의 방향성으로 완화함으로써 Nash-Williams의 k-arc-connected 방향성에 관한 정리를 일반화하기 위해.
• Frank 수 f(G)를 정의하고 분석하기 위해, 모든 간선이 적어도 한 방향성에서 제거 가능해지는 최소 방향성 수를 정의하기 위해.
• 3-edge-connected 그래프에 대한 f(G)의 상한을 확립하고, Petersen 그래프와 같은 극단적 케이스를 식별하기 위해.
• Frank 수와 그래프 이론의 깊이 있는 추측(예: Berge-Fulkerson 추측) 간의 관계를 탐색하기 위해.
• 주어진 간선 부분집합이 한 방향성에서 모두 제거 가능해지는지 여부를 판단하는 문제의 계산 복잡도를 조사하기 위해.

제안 방법

• 3-edge-connected 그래프 G의 Frank 수 f(G)를 정의한다. 이는 모든 간선이 적어도 한 방향성에서 제거 가능해지는 데 필요한 최소 방향성 수이다.
• NAE3SAT 문제에서의 환원을 통해, 주어진 부분집합의 모든 간선이 한 방향성에서 제거 가능해지는지 여부를 판단하는 문제가 NP-완전함을 증명한다.
• 3SAT의 진리값 할당을 영감으로 삼아 변수 및 절 가젯을 사용하여 삼차 그래프에 대해 명시적인 방향성을 구성함으로써, 간선 제거 후에도 강연결성이 유지되도록 보장한다.
• 구조적 분해와 간선 컷 분석을 사용하여, 모든 3-edge-connected 그래프에 대해 f(G) ≤ 7임을 증명한다.
• 특수 클래스에 대해 더 날카운 상한을 확립한다. 예를 들어, 본질적으로 4-edge-connected 그래프와 3-edge-colorable 3-edge-connected 그래프에 대해.
• 3-edge-connected 그래프의 9분할에 관한 DeVos, Johnson, 그리고 Seymour의 결과를 활용하여 일반적인 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3-edge-connected 그래프의 모든 간선이 적어도 한 방향성에서 제거 가능해지도록 하기 위해 필요한 최소 방향성 수는 얼마인가?
• RQ2 모든 3-edge-connected 그래프에 대해 Frank 수가 작은 절대 상수로 유계일 수 있는가? 만약 가능하다면, 그러한 최적의 상한은 무엇인가?
• RQ3 Petersen 그래프는 3-edge-connected 그래프 중에서 최소 가능한 Frank 수를 달성하는가? 그리고 이 그래프에 대해 f(G) = 3인가?
• RQ4 주어진 간선 부분집합이 한 방향성에서 모두 제거 가능해지는지 여부를 판단하는 문제는 계산적으로 다룰 수 있는가, 아니면 NP-완전한가?
• RQ5 Frank 수 개념을 (2k+1)-edge-connected 그래프로 일반화할 수 있으며, 필요한 방향성 수가 k에 독립적으로 유계일 수 있는가?

주요 결과

• 모든 3-edge-connected 그래프 G에 대해 Frank 수 f(G)는 최대 7이다.
• Petersen 그래프는 정확히 3의 Frank 수를 달성하여, 최소 극단적 케이스로 간주된다.
• 본질적으로 4-edge-connected 그래프에 대해서는 Frank 수가 최대 5이다.
• 3-edge-colorable 3-edge-connected 그래프에 대해서는 Frank 수가 최대 4이다.
• 주어진 부분집합의 모든 간선이 한 방향성에서 제거 가능해지는지 여부를 판단하는 문제는 NP-완전하다.
• Frank 수가 5를 초과하는 그래프는 Berge-Fulkerson 추측과 모순된다.