[논문 리뷰] Connes' Tangent Groupoid and Deformation Quantization

José F. Cariñena, Jesús Clemente-Gallardo외 4명|arXiv (Cornell University)|1998. 02. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 Connes의 접선 군oids 원리와 Landsman의 프레임워크를 사용하여 임의의 유향 리만다만에서 엄격하고 부드러운 변형 양자화를 구축한다. 이는 Moyal 곱의 일반화이다. 이 접근법은 실수성과 추적성 조건을 만족하는 점점 수렴하는 준동형을 도출하여, 양자화 이론에 Connes의 영향을 받은 기초를 제공한다.

ABSTRACT

We address one of the open problems in strict deformation quantization recently listed by Rieffel. By developping in detail Connes ’ tangent groupoid principle and using previous work by Landsman, we show how to construct a strict, flabby deformation quantization, which is moreover an asymptotic morphism and satisfies the reality and traciality constraints, on any oriented Riemannian manifold. That construction generalizes the standard Moyal rule. The paper can be considered as an introduction to quantization theory from Connes ’ point of view. 1.1. Motivation 1.

연구 동기 및 목표

• Rieffel이 제기한 엄격한 변형 양자화의 열린 문제를 해결하기 위해.
• 변형 양자화의 맥락에서 Connes의 접선 군oids 원리를 발전시키기 위해.
• 실수성과 추적성 조건을 만족하는 엄격하고 부드러운 변형 양자화를 구축하기 위해.
• 표준 Moyal 곱을 임의의 유향 리만다만으로 일반화하기 위해.
• Connes의 비가환 기하학 시각에서 양자화의 기초 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 코탄젠트 번들의 군oids의 구조와 연결하기 위해 Connes의 접선 군oids 구성법을 사용한다.
• 군oids의 복합 대수에 대해 Landsman의 변형 양자화 프레임워크를 적용한다.
• 군oids C*-대수 위에서 점점 수렴하는 준동형을 통해 일차 파arameter 가중성의 스타 곱 가중족을 구성한다.
• 대수적 및 기하학적 일관성 조건을 통해 실수성과 추적성 조건을 도입한다.
• 스터드 곱의 수렴성과 연속성을 제어함으로써 변형이 엄격하고 부드러운지 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Connes의 접선 군oids는 일반적인 리만다만에서 엄격한 변형 양자화를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 군oids 이론적 방법을 통해 Moyal 곱은 평평한 공간을 초월해 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 변형 양자화가 실수성과 추적성 조건을 만족시키기 위해 어떤 조건이 필요한가?
• RQ4 접선 군oids 구성법은 변형 양자화에서 어떤 의미에서 점점 수렴하는 준동형을 도출하는가?
• RQ5 이 접근법은 기하 양자화와 비가환 기하학 원리 사이를 어떻게 통합하는가?

주요 결과

• 접선 군oids를 사용하여 임의의 유향 리만다만에서 엄격하고 부드러운 변형 양자화가 구축되었다.
• 구성은 표준 Moyal 스타 곱을 곡률이 있는 비평탄한 기하학으로 일반화한다.
• 결과로 얻어진 변형은 점점 수렴하는 준동형이므로 변형 매개변수에 대해 연속성을 보장한다.
• 실수성과 추적성 조건은 군oids C*-대수의 대수적 구조를 통해 만족된다.
• 이 방법은 위상공간 방법을 초월하여 기하학적 및 비가환 기하학적 기초를 제공한다.