[논문 리뷰] Conormal Geometry of Maximal Minors

Steven L. Kleiman, Anders Thorup|ArXiv.org|1997. 08. 22.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대수기하학에서 최대의수의 초수기하학을 조사하며, A[M] 위에서 A[N]이 유한생성되지 않을 때 Proj(A[M]) 내의 예외적 역행 E의 차원과 등차원성에 초점을 맞춘다. 교환대수학과 대수기하학 기법을 사용하여, N 이 자유 모듈이거나 A[N] 이 대칭대수일 경우, 또는 A 가 보편적으로 카테나이어이고 W 가 비어있지 않을 경우 dim E = r−1 를 증명한다. 이 결과는 최대의수에 대한 고전적 높이 부등식을 복원하고 재증명하며, 이상수의 이상적 종속성 기준을 확장한다.

ABSTRACT

Let A be a Noetherian local domain, N be a finitely generated torsion- free module, and M a proper submodule that is generically equal to N. Let A[N] be an arbitrary graded overdomain of A generated as an A-algebra by N placed in degree 1. Let A[M] be the subalgebra generated by M. Set C:=Proj(A[M]) and r:=dim C. Form the (closed) subset W of Spec(A) of primes p where A[N]_p is not a finitely generated module over A[M]_p, and denote the preimage of W in C by E. We prove this: (1) dim E=r-1 if either (a) N is free and A[N] is the symmetric algebra, or (b) W is nonempty and A is universally catenary, and (2) E is equidimensional if (a) holds and A is universally catenary. Our proof was inspired by some recent work of Gaffney and Massey, which we sketch; they proved (2) when A is the ring of germs of a complex- analytic variety, and applied it to perfect a characterization of Thom's A_f-condition in equisingularity theory. From (1), we recover, with new proofs, the usual height inequality for maximal minors and an extension of it obtained by the authors in 1992. From the latter, we recover the authors' generalization to modules of B"oger's criterion for integral dependence of ideals. Finally, we introduce an application of (1), being made by the second author, to the geometry of the dual variety of a projective variety, and use it to obtain an interesting example where the conclusion of (1) fails and A[N] is a finitely generated module over A[M].

연구 동기 및 목표

• A[N] 이 A[M] 위에서 유한생성되지 않을 때 Proj(A[M]) 내의 예외적 역행 E의 기하적 구조를 분석하는 것.
• 모듈 N 과 환 A 에 대한 조건 하에서 E 의 차원과 등차원성 성질을 확립하는 것.
• 새로운 기하 기법을 사용하여 최대의수로 생성된 이상수의 높이에 대한 고전적 결과를 복원하고 재증명하는 것.
• 초수기하학 프레임워크를 통해 이상수의 이상적 종속성 이론을 모듈에 대해 확장하는 것.
• 결과를 프로젝티브 다양체의 쌍대 다양체에 적용하여, 주요 결론이 실패할 수 있는 반례를 드러내는 것.

제안 방법

• A[M] 을 Noetherian 국소환 A 위의 유한생성된 비가역 모듈 N 의 진부분모듈 M 의 생성하는 A-부분환으로 정의한다.
• C = Proj(A[M]) 를 정의하고, E 를 A[N]_p 가 A[M]_p 위에서 유한생성되지 않는 점들로 이루어진 W ⊆ Spec(A) 의 C 내 전이상으로 정의한다.
• 보편적으로 카테나이어 환의 성질과 대칭대수의 구조를 이용하여 E 의 차원을 분석한다.
• 등치성 이론에서 Thom 의 A_f 조건에 대한 Gaffney 와 Massey 의 작업에서 영감을 얻은 기법을 적용한다.
• 등급을 가진 확대환과 Proj 구성법을 사용하여 모듈 이론적 성질과 기하적 차원을 연결한다.
• ICIS 군위에서 국소 코hom로와 차원 이론의 맥락에서 유한생성의 실패를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 A[M] 위에서 A[N] 이 유한생성되지 않을 때, 예외적 역행 E 의 차원이 r−1 이 되는 조건은 무엇인가? 여기서 r = dim C 이다.
• RQ2 특히 A 가 보편적으로 카테나이어이고 N 이 자유일 때, 예외적 역행 E 가 등차원적인가?
• RQ3 초수기하학을 통해 최대의수의 높이 부등식을 어떻게 복원하고 일반화할 수 있는가?
• RQ4 초수기하학 프레임워크는 모듈의 이상수의 이상적 종속성 기준에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 A[N] 이 여전히 A[M] 위에서 유한생성될 때, 주요 정리의 결론이 실패할 수 있는가? 만약 그렇다면, 이러한 현상을 일으키는 기하적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• N 이 자유 모듈이고 A[N] 이 대칭대수일 경우, 또는 W 가 비어있고 A 가 보편적으로 카테나이어일 경우, 예외적 역행 E 의 차원은 r−1 이다.
• N 이 자유 모듈이고 A 가 보편적으로 카테나이어일 경우, 예외적 역행 E 는 등차원적이다.
• 주요 결과는 최대의수로 생성된 이상수의 고전적 높이 부등식을 복원한다.
• Böger 의 이상적 종속성 기준의 확장은 초수기하학 프레임워크의 모듈 이론적 일반화를 통해 복원된다.
• A[N] 이 여전히 A[M] 위에서 유한생성되지만 주요 정리의 결론이 실패하는 반례가 구성된다. 이는 가정의 필수성을 보여준다.