[논문 리뷰] Consecutive patterns in inversion sequences II: avoiding patterns of relations

Juan S. Auli, Sergi Elizalde|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 17.

Advanced Combinatorial Mathematics인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 세 연속된 항목 간의 세 개의 이항 관계(예: <, >, =)로 정의된 관계의 연속적 패턴을 갖는 역순서열에서의 패턴을 조사한다. 겹침이 없는 경로와 기호 조합 기법을 사용하여 이러한 패턴을 피하는 역순서열을 세며, 카탈란 수, 피보나치 수, 중심 다항계수 등과의 연결 고리를 드러내고, 생성함수와 이분형 구성법을 통해 윌프 등가성 및 단조성 추측을 증명한다.

ABSTRACT

Inversion sequences are integer sequences $e=e_{1}e_{2}\\dots e_{n}$ such that $0\\leq e_{i}&lt;i$ for each $i$. The study of patterns in inversion sequences was initiated by Corteel--Martinez--Savage--Weselcouch and Mansour--Shattuck in the classical (non-consecutive) case, and later by Auli--Elizalde in the consecutive case, where the entries of a pattern are required to occur in adjacent positions. In this paper we continue this investigation by considering {\\em consecutive patterns of relations}, in analogy to the work of Martinez--Savage in the classical case. Specifically, given two binary relations $R_{1},R_2\\in\\{\\leq,\\geq,&lt;,&gt;,=,\ eq\\}$, we study inversion sequences $e$ with no subindex $i$ such that $e_{i}R_{1}e_{i+1}R_{2}e_{i+2}$. By enumerating such inversion sequences according to their length, we obtain well-known quantities such as Catalan numbers, Fibonacci numbers and central polynomial numbers, relating inversion sequences to other combinatorial structures. We also classify consecutive patterns of relations into Wilf equivalence classes, according to the number of inversion sequences avoiding them, and into more restrictive classes that consider the positions of the occurrences of the patterns. As a byproduct of our techniques, we obtain a simple bijective proof of a result of Baxter--Shattuck and Kasraoui about Wilf-equivalence of vincular patterns, and we prove a conjecture of Martinez and Savage, as well as related enumeration formulas for inversion sequences satisfying certain unimodality conditions.

연구 동기 및 목표

• 역순서열에서 연속적 패턴을 연구함에 있어, 연속된 항목들 사이의 세 개의 이항 관계(예: ≤, <, =)로 정의된 패턴을 도입함으로써 이를 확장한다.
• 이러한 연속적 패턴을 피하는 역순서열을 세며, 그 수를 카탈란 수, 피보나치 수 등 잘 알려진 조합 수열과 연결한다.
• 피하기 수에 기반해 이러한 패턴들을 윌프 등가류로 분류하고, 발생 위치에 따라 더 세밀한 클래스로 나눈다.
• 마르티네스와 샤프의 비너큘라 패턴에 대한 윌프 등가성 추측을 증명하며, 단조적 역순서열에 대한 수를 세는 공식을 수립한다.
• 개발된 프레임워크를 사용하여 백스터–샤투크와 카스라우이의 윌프 등가성 결과에 대한 이분형 증명을 제공한다.

제안 방법

• 연속적 관계 패턴을 Rᵢ ∈ {≤, ≥, <, >, =, ≠, −}인 삼중조합 (R₁, R₂, R₃)으로 정의하고, 이러한 삼중조합이 연속된 위치에 나타나지 않는 역순서열을 연구한다.
• 역순서열을 수평(E), 상승(N), 하강(Dₜ) 단계를 갖는 하향 경로로 표현하고, 피하기 조건을 암호화하기 위해 다중 마킹된 다이크 경로를 사용한다.
• 구체적인 이분형을 통해 주어진 (R₁, R₂, R₃)를 피하는 역순서열과 R′ₙ 및 R̃′ₙ 등의 특정 경로 클래스 사이의 이분형을 구성함으로써 생성함수를 유도한다.
• 기호 방법과 전이 행렬 기법을 사용하여 길이 n을 t로 표시하는 이러한 역순서열의 수를 위한 생성함수 I_(R₁,R₂,R₃)(z,t)를 유도한다.
• 이 생성함수를 적용하여 정확한 수를 계산하고, 다양한 관계 삼중조합 간의 피하기 수를 비교함으로써 윌프 등가성을 증명한다.
• 생성함수 분석과 소규모 n의 계산을 통해 최대값까지의 거리(dist) 통계량의 분포가 단조적임과 대칭임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 연속적 관계 패턴 (R₁, R₂, R₃)이 카탈란 수나 피보나치 수와 같은 잘 알려진 조합 수열의 수와 일치하는 역순서열의 수를 유도하는가?
• RQ2 연속적 관계 패턴에 대해 윌프 등가성이 어떻게 정의되고 분류될 수 있으며, 이러한 등가성의 배경이 되는 대칭성 또는 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ3 비너큘라 패턴에 대한 마르티네스와 샤프의 윌프 등가성 추측은 연속적 관계 패턴의 프레임워크를 통해 증명될 수 있는가?
• RQ4 주어진 (R₁, R₂, R₃) 패턴을 피하는 역순서열의 수를 위한 생성함수는 무엇이며, 이는 어떻게 경로 수에 관련되는가?
• RQ5 역순서열이 (R₁, R₂, R₃) 패턴을 피할 경우, 최대값까지의 거리(dist) 통계량의 분포는 단조적 또는 대칭적인가?

주요 결과

• 패턴 (>, <, −)를 피하는 역순서열의 생성함수는 I_(>,<,−)(z,t) = [1 + z(2−t) − z²(1−t) − (1−z)√((1+z−zt)² − 4z(1−z+zt)/(1−z))]/(2z(2−z))로 주어지며, t=1일 때 유리 생성함수를 유도한다.
• 패턴 (≥, ≠, −)에 대한 생성함수는 I_(≥,≠,−)(z,t) = (1−z−zt+2z²t)/((1−z)(1−zt)²)로 주어지며, 이는 직접적인 유리 생성함수와 단조적 구조 간의 연결 고리를 보여준다.
• 패턴 (=, <, −)에 대한 생성함수는 I_(=,<,−)(z,t) = (1−z)/(1−z−zt)로 주어지며, 이는 n ≥ 1일 때 길이 n인 이러한 역순서열의 수가 1 + t(t+1)^{n−1}임을 의미하여 dist 분포의 대칭성을 확인한다.
• 논문은 소규모 n에 대한 계산과 생성함수 분석에 기반해 표 2에 나열된 모든 패턴에 대해 dist 통계량의 분포가 단조적임을 증명한다.
• 특정 비너큘라 패턴의 윌프 등가성에 대한 이분형 증명이 확립되었으며, 이는 역순서열 프레임워크를 통해 백스터–샤투크와 카스라우이의 결과를 확인한다.
• 저자들은 마르티네스–샤프의 추측을 증명하여 (>, ≤, −)와 (>, <, −)의 피하기 수가 동일하며, 이들이 알려진 조합 클래스와 관련되어 있음을 입증한다.