[논문 리뷰] Conservation Laws and Formation of Singularities in Relativistic Theories of Extended Objects

Jens Hoppe|arXiv (Cornell University)|1995. 03. 10.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 2인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 변수인 제1 및 제2 기본형을 사용하여 M+2차원 시공간 내 M차원 확장된 물체의 역학을 수립한다. 이들의 운동 방정식은 선형 시스템의 일致성 조건으로 나타나며, 이는 비국소적 보존량을 유도한다. 주요 결과는 M=1(끈)인 경우 모든 운동이 필수적으로 특이성을 띤다는 것이며, M=2(막)인 경우 타원 함수로 표현된 비대칭 해가 명시적으로 구성되며, 이는 ℝ¹,³ 내 3중 주기적 시공간 최대 초표면을 이룬다.

ABSTRACT

The dynamics of an M-dimensional extended object whose M+1 dimensional world volume in M+2 dimensional space-time has vanishing mean curvature is formulated in term of geometrical variables (the first and second fundamental form of the time-dependent surface $\sum_M$), and simple relations involving the rate of change of the total area of $\sum_M$, the enclosed volume as well as the spatial mean -- and intrinsic scalar curvature, integrated over $\sum_M$, are derived. It is shown that the non-linear equations of motion for $\sum_M(t)$ can be viewed as consistency conditions of an associated linear system that gives rise to the existence of non-local conserved quantities (involving the Christoffel-symbols of the flat M+1 dimensional euclidean submanifold swept out in ${\Bbb R}^{M+1}$). For M=1 one can show that all motions are necessarily singular (the curvature of a closed string in the plane can not be everywhere regular at all times) and for M=2, an explicit solution in terms of elliptic functions is exhibited, which is neither rotationally nor axially symmetric. As a by-product, 3-fold-periodic spacelike maximal hypersurfaces in ${\Bbb R}^{1,3}$ are found.

연구 동기 및 목표

• M+2차원 시공간 내 M차원 확장된 물체의 역학을 제1 및 제2 기본형과 같은 내재 기하학적 변수를 사용하여 수립하기.
• 세계체에 걸쳐 적분된 총 면적, 봉쇄된 부피, 내재 곡률의 보존 법칙 유도하기.
• 비선형 운동 방정식이 관련된 선형 시스템의 일치 조건임을 보여주며, 이는 비국소적 보존량 존재를 암시함.
• 특히 M=1 및 M=2인 경우 상대론적 확장된 물체에서 특이성의 형성 분석하기.
• M=2 막에 대한 명시적 해 구성하기, 특히 회전 대칭성 또는 축 대칭성이 없는 해와 ℝ¹,³ 내 시공간 최대 초표면의 주기적 해 포함하기.

제안 방법

• 세계체 ℳ ⊂ ℝ¹,ᴹ⁺¹를 시간에 따라 변하는 M차원 표면 Σᴹ(t)로 매개변수화하며, 좌표 (φ⁰=t, φ¹,…,φᴹ) 와 법선 방향의 진동을 사용한다.
• 임베딩 함수 xμ(φ⁰,…,φᴹ)와 민코프스키 계량식 ημν를 사용하여 ℳ 위의 유도 계량식 Gαβ를 표현함으로써, S = ∫√|G| dφ 형태의 체적 기능을 도출한다.
• 체적 기능의 극값 조건에서 운동 방정식을 유도하며, 이는 법선 속도 ẋ가 sinθ에 비례하는 일阶 시스템으로 나타나며, θ는 공간 계량식의 행렬식 g와 관련된다.
• 기하학적 변수인 gᵣₛ (제1 기본형), Lᵣₛ (제2 기본형)를 도입하고, 가우스-코드라지 방정식을 사용하여 시간 진동과 곡률 간의 관계를 유도한다.
• Weierstrass ℘-함수를 사용하여 M=2의 경우에 대해 명시적 해를 구성하며, 특히 표면이 주기적으로 진동하고 ℝ¹,³ 내 최대 초표면을 형성하는 경우를 다룬다.
• 역학이 선형 시스템과 일致함을 보이며, 이 시스템의 호환 조건이 비선형 운동 방정식을 유도함으로써, 평탄한 M+1차원 외부 공간 ℝᴹ⁺¹ 내의 크리스토펠 기호를 포함한 비국소적 보존량 존재를 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 M+2차원 시공간 내 상대론적 확장된 물체가 그 운동에서 특이성을 보일 조건은 무엇인가?
• RQ2 제1 및 제2 기본형과 같은 기하학적 불변량을 사용하여 이러한 물체의 역학을 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ3 비선형 운동 방정식과 관련된 선형 시스템의 배경에서 어떤 보존량이 유도되는가?
• RQ4 M=2 막에 대해 비틀림 없고 축 대칭성도 없는 비트리비얼한 해를 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 ℝ¹,³ 내 시공간 최대 초표면의 기하학적 구조는 무엇이며, 확장된 물체의 역학으로부터 어떻게 도출되는가?

주요 결과

• M=1(끈)인 경우, 모든 운동은 필수적으로 특이성을 띤다: 평면상의 폐쇄된 끈의 곡률은 항상 정규 상태를 유지할 수 없다.
• M=2인 경우, Weierstrass ℘-함수를 사용하여 비회전 대칭 막의 해를 명시적으로 구성하였으며, 이는 시간에 따라 주기적으로 진동하는 형태이다.
• 해 (73)는 ℝ¹,³ 내 3중 주기적 시공간 최대 초표면을 묘사하며, 이는 볼록하고 t=0에서 평평한 표면에서 출발하여 t=ω에서 원형 점으로 수축한다.
• 표면의 평균 곡률 H와 가우스 곡률 K는 ℘-함수의 로그 도함수로 표현되며, 단위 입자 상자의 모서리와 가장자리에서 특이성이 발생한다.
• 해 (74)는 큐브의 상하면에서 대칭적으로 진동하여 t=ω에서 한 점으로 만나며, 곡률이 발산하는 막을 묘사한다.
• 선형 시스템의 호환성에 의해 비국소적 보존량 존재가 입증되었으며, 보존 밀도는 평탄한 M+1차원 외부 공간 ℝᴹ⁺¹의 크리스토펠 기호를 포함한다.