[논문 리뷰] Conservation laws for a class of generic Hamiltonians

Maurizio Fagotti|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 08.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 강한 결합 전개를 통해 스핀 체인 해밀토니안의 일군의 클래스—정수적이고 비정수적 모델을 포함—에서 국소적 준보존 연산자를 구성한다. 수치적 증거를 통해 이러한 연산자가 준국소적 보존법칙을 근사할 수 있음을 발견하여, 비정수적 시스템이 소수의 강건하고 시스템에 독립적인 보존량으로 인해 준열적화(pre-thermalization)를 나타낼 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

Within a strong coupling expansion, we construct local quasi-conserved operators for a class of Hamiltonians that includes both integrable and non-integrable models. We explicitly show that at the lowest orders of perturbation theory the structure of the operators is independent of the system details. Higher order contributions are investigated numerically by means of an ab initio method for computing the time evolution of local operators in the Heisenberg picture. The numerical analysis suggests that the quasi-conserved operators could be approximations of a quasi-local conservation law, even if the model is non-integrable.

연구 동기 및 목표

• 일련의 양자 스핀 해밀토니안 전반에 걸쳐 국소적 준보존 연산자를 식별하고 구성하는 것—정수적 및 비정수적 모델을 포함.
• 이러한 준보존 연산자가 비정수적 시스템, 즉 국소적 보존법칙이 기대되지 않는 시스템에서도 진정한 보존법칙을 근사할 수 있는지 조사하는 것.
• 헤이젠베르크 그림에서의 수치적 시간 진화를 사용하여 이러한 연산자의 국소성 성질, 특히 약한 국소성 또는 준국소성인지 평가하는 것.
• 이러한 발견이 비평형 양자 동역학, 특히 비정수적 시스템에서의 준열적화 및 열적화의 붕괴에 미치는 영향을 평가하는 것.

제안 방법

• Δ를 매개변수로 하는 강한 결합 전개를 사용하여, 기본 연산자 Q₀에서 시작해 Q를 Δ⁻ⁿ의 급수로 구성한다.
• 해밀토니안의 구조 H = H₀ + ΔH_I 에 대해 [H_I, G] = 0 및 [H_I, F] = F 라는 대수적 제약 조건을 도입한다. 여기서 H₀ = G + F + F† 이다.
• 헤이젠베르크 그림에서 국소적 연산자의 시간 진화를 계산하기 위해 근본적인 수치적 방법을 사용하여 고차원 편미분 기여도에 접근할 수 있도록 한다.
• Hilbert-Schmidt 노름을 사용하여 [H, Q]의 교환자로부터 보존 충실도를 시간에 따라 추적함으로써 보존에서의 이격도를 측정한다.
• 연산자 노름에 대한 상한으로서 파울리 스트링 계수의 L¹-노름을 사용하여 국소성 평가를 수행하며 尾 꼬리 감쇠 행동을 분석한다.
• 연산자 밀도의 공간 감쇠를 분석하여 지수적(준국소적) 또는 거듭제곱법적(약한 국소성) 국소화 여부를 시험한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수적 및 비정수적 모델을 포함하는 해밀토니안의 일군의 클래스에서 국소적 준보존 연산자를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 비정수적 시스템에서 이러한 보존법칙이 기대되지 않는 상황에서도 이러한 준보존 연산자가 진정한 보존법칙을 근사할 수 있는가?
• RQ3 결과로 도출된 준보존 연산자의 국소성 구조는 무엇인가—특히 이들이 약한 국소성인지 준국소성인지인가?
• RQ4 이러한 연산자의 시간 진화는 보존 품질을 어떻게 반영하며, 고차항 보정이 이에 영향을 미치는가?
• RQ5 이러한 연산자의 존재가 비정수적 모델에서의 준열적화 또는 열적화의 부재를 설명할 수 있는가?

주요 결과

• 최저차항 준보존 연산자는 시스템의 세부 사항과 무관하여, 강한 결합 근처에서 보편적인 구조가 있음을 시사한다.
• 수치 시뮬레이션 결과, [H, Q]의 교환자가 시간이 지남에 따라 작게 유지되며, 시간 평균 연산자 Q^(α)에서 α가 증가할수록 교환자 노름이 감소하는 경향을 보인다.
• 연산자 밀도의 L¹-노름이 어떤 거듭제곱 법칙보다도 더 빠르게 감쇠되며, 이는 지수적 국소화 가능성은 있으나 데이터가 느린 거듭제곱 법칙을 완전히 배제하지는 않는다.
• 더 작은 α에 대한 Q^(α)의 시간 진화는 더 두드러진 尾 꼬리를 보이며, 이는 고차항 보정이 국소화를 향상시킨다는 것을 시사한다.
• t=30에서 [H, Q]의 연산자 노름은 역시간 감쇠와 일치하며, 유한 시간에서 양호한 보존 충실도를 나타낸다.
• 유한한 크기 분석 결과 준국소성 가능성이 지지되지만, 국소성의 붕괴가 시간 척도에 따라 달라질 가능성은 배제할 수 없다.