[논문 리뷰] Conservative discrete time-invariant systems and block operator CMV matrices

Yury Arlinskii̇̆|ArXiv.org|2008. 08. 12.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 operator-valued Schur class 함수의 단순한 보존적 실현을 그 Schur 매개수만을 사용하여 구성하며, 이에 대응하는 unitary 연산자가 블록 연산자 CMV 행렬의 형태를 띤다는 것을 보여준다—스칼라 CMV 행렬의 일반화이다. 주요 기여는 완전히 비단위적 수축에 대한 새로운 모델을 조각낸 블록 연산자 CMV 행렬을 통해 제시하는 것으로, Schur 매개수를 직접 unitary 확장과 특성 함수에 연결한다.

ABSTRACT

It is well known that an operator-valued function $Θ$ from the Schur class ${\bf S}(\mathfrak M,\mathfrak N)$, where $\mathfrak M$ and $\mathfrak N$ are separable Hilbert spaces, can be realized as the transfer function of a simple conservative discrete time-invariant linear system. The known realizations involve the function $Θ$ itself, the Hardy spaces or the reproducing kernel Hilbert spaces. On the other hand, as in the classical scalar case, the Schur class operator-valued function is uniquely determined by its so called "Schur parameters". In this paper we construct simple conservative realizations using the Schur parameters only. It turns out that the unitary operators corresponding to the systems take the form of five diagonal block operator matrices, which are the analogs of Cantero--Moral--Velázquez (CMV) matrices appeared recently in the theory of scalar orthogonal polynomials on the unit circle. We obtain new models given by truncated block operator CMV matrices for an arbitrary completely non-unitary contraction. It is shown that the minimal unitary dilations of a contraction in a Hilbert space and the minimal Naimark dilations of a semi-spectral operator measure on the unit circle can also be expressed by means of block operator CMV matrices.

연구 동기 및 목표

• operator-valued Schur class 함수의 Schur 매개수만을 사용하여 간단한 보존적 이산 시간 불변 시스템을 직접 구성하는 것.
• 다변수 및 연산자 값 설정에서 스칼라 CMV 행렬 구조를 블록 연산자 행렬으로 일반화하는 것.
• 조각낸 블록 연산자 CMV 행렬을 사용하여 완전히 비단위적 수축에 대한 모델을 수립하는 것.
• 수축의 최소 unitary 확장과 반스펙트럴 측도의 최소 Naimark 확장을 블록 연산자 CMV 행렬의 형태로 표현하는 것.
• 새로운 CMV 기반 모델을 사용하여 주어진 순수하게 수축적인 Schur class 함수를 특성 함수로 갖는 완전히 비단위적 수축의 존재성을 재증명하는 것.

제안 방법

• Schur 매개수 {Γₙ*}ₙ≥₀를 사용하여 힐버트 공간과 그 위의 unitary 연산자를 구성함으로써 블록 연산자 CMV 행렬 구조를 형성한다.
• 수축의 특성 함수의 모델로서 조각낸 블록 연산자 CMV 행렬 T₀({Γₙ*}ₙ≥₀)와 T̃₀({Γₙ*}ₙ≥₀)를 정의한다.
• 수축 T의 unitary 확장을 사용하여, 그 특성 함수가 블록 연산자 CMV 행렬 구조를 갖는 보존적 시스템의 전달 함수로 실현됨을 보인다.
• Naimark 확장 정리를 적용하여 단위 원 위의 반스펙트럴 연산자 측도를 블록 연산자 CMV 행렬을 통해 표현한다.
• 블록 연산자 CMV 행렬에서 구성된 보존적 시스템의 전달 함수가 원래 Schur class 함수와 일치함을 증명한다.
• unitary 통합자와 결함 연산자를 사용하여, 조각낸 블록 연산자 CMV 행렬 T₀({Γₙ*}ₙ≥₀)의 특성 함수가 원래 Schur class 함수 Θ(λ)와 같음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Schur 매개수만을 사용하여 Hardy 공간이나 재생 커널 공간에 의존하지 않고 operator-valued Schur class 함수의 보존적 실현을 구성할 수 있는가?
• RQ2 그 실현과 관련된 unitary 연산자의 구조는 어떻게 되며, 스칼라 CMV 행렬은 어떻게 일반화되는가?
• RQ3 조각낸 블록 연산자 CMV 행렬은 어떻게 완전히 비단위적 수축을 모델링할 수 있는가?
• RQ4 수축의 최소 unitary 확장은 블록 연산자 CMV 행렬로 표현될 수 있는가?
• RQ5 단위 원 위의 반스펙트럴 연산자 측도의 Naimark 확장은 블록 연산자 CMV 행렬로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• Schur class 함수 Θ ∈ S(M,N)와 관련된 unitary 연산자는 Θ의 Schur 매개수로부터 오직 구성된 블록 연산자 CMV 행렬로 실현될 수 있다.
• 조각낸 블록 연산자 CMV 행렬 T₀({Γₙ*}ₙ≥₀)의 특성 함수는 원래 Schur class 함수 Θ(λ)와 동일하며, 이는 매개수와 시스템 행동 사이의 직접적인 연결을 확립한다.
• 완전히 비단위적 수축 T의 최소 unitary 확장은 T의 특성 함수의 Schur 매개수로부터 구성된 블록 연산자 CMV 행렬 T₀({Γₙ*}ₙ≥₀)와 unitary equivalent이다.
• 단위 원 위의 반스펙트럴 연산자 측도의 최소 Naimark 확장은 블록 연산자 CMV 행렬로 실현될 수 있으며, 이는 모델을 연산자 측도로 확장한다.
• 순수하게 수축적인 Schur class 함수의 경우, 블록 연산자 CMV 행렬 모델을 통해 그 함수를 특성 함수로 갖는 완전히 비단위적 수축의 존재성이 재증명된다.
• 블록 연산자 CMV 행렬 구조에서 구성된 보존적 시스템의 전달 함수는 원래 Schur class 함수와 일치하며, 실현의 정확성을 확인한다.