[논문 리뷰] Conservative methods for stochastic differential equations with a conserved quantity

Chuchu Chen, David Cohen외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 06.

Stochastic processes and financial applications인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 스트라토노비치 의미의 확률미분방정식(SDEs)에 대해 스칼라 보존량을 유지하는 새로운 보존적 수치적 방법을 제안한다. 이 방법은 교환 가능한 노이즈 하에서 2차 평균 순서 1을 달성하고 일반적으로 약한 순서 1을 갖는다. 수렴 분석은 적분 공식의 영향과 분할 기반 조합 방법을 포함하도록 확장되었다.

ABSTRACT

This paper proposes a novel conservative method for numerical computation of general stochastic differential equations in the Stratonovich sense with a conserved quantity. We show that the mean-square order of the method is $1$ if noises are commutative and that the weak order is also $1$. Since the proposed method may need the computation of a deterministic integral, we analyse the effect of the use of quadrature formulas on the convergence orders. Furthermore, based on the splitting technique of stochastic vector fields, we construct conservative composition methods with similar orders as the above method. Finally, numerical experiments are presented to support our theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 스트라토노비치 SDEs를 위한 수치적 방법을 개발하여 스칼라 보존량을 정확히 유지한다.
• 제안된 보존적 방법의 2차 평균 및 약한 수렴 순서를 분석하며, 특히 교환 가능한 노이즈 하에서의 성능을 다룬다.
• 적분 공식의 선택이 보존량의 수렴 순서와 이산적 보존성에 미치는 영향을 조사한다.
• 스토케스 벡터장의 분할 기법을 사용하여 보존적 조합 방법을 구성한다.
• 예를 들어 순환 로트카-볼테라 시스템과 같은 벤치마크 SDEs를 통해 이론적 수렴 순서와 보존 성질을 수치적으로 검증한다.

제안 방법

• 방정식의 비대칭 기울기 형태를 사용하여, 보존량의 기울기로 드리프트 및 확산 계수를 표현함으로써 방법을 유도한다.
• 시간 간격 동안 비대칭 기울기 구조를 통합하여 이산 수준에서 보존량 $ I(x) $ 를 정확히 유지하는 새로운 보존적 방법을 구성한다.
• 적분 공식을 사용하여 방법에서 발생하는 결정론적 적분을 근사하는 데 있어 수렴 분석을 수행하며, 적분 공식의 순서가 2를 초과할 경우 순서 유지가 가능하다는 것을 보여준다.
• 스토케스 벡터장을 더 단순한 성분들로 분할하기 위해 분할 기법을 적용하여, 유사한 수렴 순서를 갖는 조합 방법을 구성할 수 있도록 한다.
• 시간 간격에 해당하는 기본적인 방법들을 짝지어 대칭적인 조합을 사용하여 구성하며, 이로써 2차 평균 및 약한 두 경우 모두 순서 1을 확보한다.
• 고차 수렴 방법을 사용하여 계산된 참값과 함께 알려진 보존량을 갖는 확률적 순환 로트카-볼테라 시스템을 사용하여 이론적 수렴 성질을 수치적으로 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 스트라토노비치 SDEs에 대해 스칼라 보존량을 정확히 유지하면서도 높은 수렴 순서를 확보할 수 있는 수치적 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 교환 가능한 노이즈 하에서 제안된 보존적 방법의 2차 평균 수렴 순서는 얼마인가?
• RQ3 비교환 노이즈 상황에서의 방법의 약한 수렴 순서는 얼마인가?
• RQ4 결정론적 적분을 계산하는 데 사용되는 적분 공식의 선택이 수렴 순서와 이산 보존량에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 분할 기법을 활용하여 이러한 SDEs에 대해 고차 보존적 조합 방법을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 보존적 방법은 노이즈가 교환 가능한 경우 2차 평균 수렴 순서 1을 달성한다.
• 노이즈의 교환성 가정 없이도 방법의 약한 수렴 순서는 1이다.
• 결정론적 적분을 계산하는 데 사용된 적분 공식의 순서가 2를 초과할 경우, 2차 평균 및 약한 수렴 순서는 여전히 1을 유지한다.
• 이산 보존량은 수치적 방법에 의해 정확히 유지되며, 기하학적 구조 유지 성질을 확인한다.
• 스토케스 벡터장의 분할 기반 조합 방법 역시 교환 가능한 노이즈 하에서는 2차 평균 순서 1을 달성하고 일반적으로 약한 순서 1을 갖는다.
• 확률적 순환 로트카-볼테라 시스템에 대한 수치 실험 결과 이론적 수렴 순서가 확인되었으며, 로그-로그 도표에서 2차 평균 및 약한 오차 모두 기울기가 1임을 보였다.