[논문 리뷰] Conservative stochastic 2-dimensional Cahn-Hilliard equation

Michael Röckner, Huanyu Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 09.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 42인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 접근 방식을 사용하여 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 보존형 스트로스틱 2차원 Cahn-Hilliard 방정식의 잘 정의됨을 입증한다: 이동된 방정식을 통한 확률적 강해법과 딜리클레 형식 방법을 통한 확률적 약해법. 주요 기여는 마틴갈 해의 유일성과 지수적 에르고딕성의 증명이며, 생성자에 대한 제한된 마르코프 유일성도 포함된다.

ABSTRACT

We consider the stochastic 2-dimensional Cahn-Hilliard equation which is driven by the derivative in space of a space-time white noise. We use two different approaches to study this equation. First we prove that there exists a unique solution $Y$ to the shifted equation (see (1.4) below), then $X:=Y+{Z}$ is the unique solution to stochastic Cahn-Hilliard equaiton, where ${Z}$ is the corresponding O-U process. Moreover, we use Dirichlet form approach in \cite{Albeverio:1991hk} to construct the probabilistically weak solution the the original equation (1.1) below. By clarifying the precise relation between the solutions obtained by the Dirichlet forms aprroach and $X$, we can also get the restricted Markov uniquness of the generator and the uniqueness of martingale solutions to the equation (1.1).

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 보존형 스트로스틱 2차원 Cahn-Hilliard 방정식의 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 이동된 방정식을 통한 확률적 강해법과 딜리클레 형식 방법을 통한 확률적 약해법 사이의 관계를 명확히 하는 것.
• 생성자의 제한된 마르코프 유일성과 마틴갈 해의 유일성을 증명하는 것.
• 해 과정의 지수적 에르고딕성을 확립하는 것.

제안 방법

• 저자들은 원래의 스트로스틱 Cahn-Hilliard 방정식을 더 다룰 수 있는 형태로 변환하기 위해 이동된 방정식을 도입한다.
• 그들은 소벨레프 공간에서의 고정점 원리와 정규성 추정을 사용하여 이동된 방정식의 해 $ Y $ 의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 원래의 해 $ X = Y + Z $ 는 질량 보존을 보장하는 옴스타인-울렌벡 과정 $ Z $ 를 사용하여 구성된다.
• 원래 방정식에 대한 확률적 약해해를 생성하기 위해 딜리클레 형식 방법을 적용하며, 이는 준정규성과 오른쪽 과정 이론을 활용한다.
• 강해법과 약해해 사이의 연결을 이용하여 생성자의 제한된 마르코프 유일성을 유도한다.
• 고정된 측도와 커플링 기법을 활용하여 고정 측도(Gibbs 측도)의 맥락에서 해 과정의 불변 측도를 분석함으로써 지수적 에르고딕성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 보존형 스트로스틱 2차원 Cahn-Hilliard 방정식은 유일한 확률적 강해를 갖는가?
• RQ2 딜리클레 형식 방법을 통해 확률적 약해해를 구성할 수 있으며, 이는 강해와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 생성자는 제한된 의미에서 마르코프 유일한가, 그리고 이는 마틴갈 해의 유일성을 의미하는가?
• RQ4 해 과정은 고정 측도에 대해 지수적 에르고딕성을 나타내는가?

주요 결과

• 이동된 방정식 접근을 통해 보존형 스트로스틱 2차원 Cahn-Hilliard 방정식에 대해 유일한 확률적 강해가 존재한다.
• 딜리클레 형식 방법을 통해 확률적 약해해가 구성되었으며, 강해와의 동치성은 생성자의 제한된 마르코프 유일성을 확인한다.
• 강해와 약해해의 구성 간의 상호작용을 통해 마틴갈 해의 유일성이 확립된다.
• 해 과정의 지수적 에르고딕성이 증명되었으며, 이는 평형 상태로의 지수적 수렴을 의미한다.
• 고정 측도 $ \nu $, 형식적으로 $ \nu(d\phi) = c \exp\left(-\int_{\mathbb{T}^2} \frac{1}{4} :\phi^4: dx\right) \mu(d\phi) $ 로 주어지며, 이는 에르고딕성 결과의 기초가 된다.
• 해는 거의 확실히 질량을 보존하며, 이는 방정식의 보존성과 일치한다.