[논문 리뷰] Conserved Current Densities, Localization Probabilities, and a New Global Gauge Symmetry of Klein-Gordon Fields

Alí Mostafazadeh, Farhad Zamani|ArXiv.org|2003. 12. 09.

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 켈린-고르든 장에 대해 일련의 일관된 전류 밀도 $J_a^\mu$ 를 도입하며, 이는 명백히 공변성, 양의 정부호성, 로렌츠 불변성을 갖는 내적을 제공한다. 최근 개발된 힐버트 공간 구성 방법을 사용하여 장의 국소화를 위한 확률 전류 밀도 $\mathcal{J}_a^\mu$ 를 유도한다. 이는 $c \to \infty$ 근처에서 비상대론적 확률 전류로 줄어들지만, $\mathcal{J}_a^\mu$ 는 수반되지도 않으며 4차원 장이 아니다. 총 확률의 수반성은 $J_a^\mu$ 의 국소적 수반성에 기인하며, 이는 $a$ 가 유리수이면 $U(1)$, 무리수이면 $\mathbb{R}^+$ 인 새로운 전역 게이지 대칭과 연결된다.

ABSTRACT

For free Klein-Gordon fields, we construct a one-parameter family of conserved current densities $J_a^μ$, with $a\in(-1,1)$, and use the latter to yield a manifestly covariant expression for the most general positive-definite and Lorentz-invariant inner product on the space of solutions of the Klein-Gordon equation. Employing a recently developed method of constructing the Hilbert space and observables for Klein-Gordon fields, we then obtain the probability current density ${\cal J}_a^μ$ for the localization of a Klein-Gordon field in space. We show that in the nonrelativistic limit both $J_a^μ$ and ${\cal J}_a^μ$ tend to the probability current density for the localization of a nonrelativistic free particle in space, but that unlike $J_a^μ$ the current density ${\cal J}_a^μ$ is neither covariant nor conserved. Because the total probability may be obtained by integrating either of these two current densities over the whole space, the conservation of the total probability may be viewed as a consequence of the local conservation of $J_a^μ$. The latter is a manifestation of a previously unnoticed global gauge symmetry of the Klein-Gordon fields. The corresponding gauge group is U(1) if the parameter $a$ is rational. It is the multiplicative group of positive real numbers if $a$ is irrational. We also discuss an extension of our results to Klein-Gordon fields minimally coupled to an electromagnetic field.

연구 동기 및 목표

• 첫 번째 양자화된 켈린-고르든 장에 대한 확률 해석 문제를 해결하기 위해 명백히 공변성, 양의 정부호성, 로렌츠 불변성을 갖는 내적을 구성하는 것.
• 비상대론적 극한에서 비상대론적 확률 전류로 줄어드는 물리적으로 의미 있는 확률 전류 밀도 $\mathcal{J}_a^\mu$ 를 장의 국소화를 위해 정의하는 것.
• 수반 전류 $J_a^\mu$ 뒤에 있는 새로운 전역 게이지 대칭을 규명하며, $a$ 가 유리수이면 게이지 군이 $U(1)$, 무리수이면 $\mathbb{R}^+$ 임을 밝히는 것.
• 표준 켈린-고르든 전류 $J_{\rm KG}^\mu$ 가 전하 밀도로써의 역할을 하며, 확률 전류 $\mathcal{J}_a^\mu$ 와 어떻게 다를 수 있는지 명확히 하는 것.

제안 방법

• 자유 켈린-고르든 장에 대해 $a \in (-1,1)$ 를 매개변수로 사용하는 일련의 일관된 전류 밀도 $J_a^\mu$ 를 켈린-고르든 방정식의 해 위에서 수정된 이항형식을 사용하여 구성한다.
• 해 공간 위에서 가장 일반적인 양의 정부호성과 로렌츠 불변성을 갖는 내적에 대해 $J_a^\mu$ 를 통해 명백히 공변적인 표현을 도출한다.
• 최근 개발된 켈린-고르든 장에 대한 힐버트 공간 구성 방법을 적용하여 장의 국소화를 위한 확률 전류 밀도 $\mathcal{J}_a^\mu$ 를 정의한다.
• 비상대론적 극한 $c \to \infty$ 를 분석하여 $\mathcal{J}_a^\mu$ 가 고전적 비상대론적 확률 전류 밀도로 줄어들음을 보여준다.
• 두 개의 양의 에너지 평면파 해의 초위상에 의해 $\mathcal{J}_a^\mu$ 와 $J_a^\mu$ 를 명시적으로 계산하여, $\mathcal{J}_a^\mu$ 가 4차원 장이 아니며 수반되지 않음을 입증한다.
• 수반성 $\partial_\mu J_a^\mu = 0$ 과 $\omega_1 \neq \omega_2$ 일 때 $\partial_\mu \mathcal{J}_a^\mu \neq 0$ 를 증명함으로써 확률 전류의 비수반성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 켈린-고르든 장 해 공간에 대해 명백히 공변성, 양의 정부호성, 로렌츠 불변성을 갖는 내적을 구성할 수 있는가?
• RQ2 첫 번째 양자화 프레임워크에서 장의 국소화를 위한 비상대론적 확률 전류의 올바른 상대론적 일반화는 무엇인가?
• RQ3 표준 켈린-고르든 전류 $J_{\rm KG}^\mu$ 는 왜 확률 전류로 적합하지 않은가? 무엇이 그 대체가 되는가?
• RQ4 수반 전류 $J_a^\mu$ 는 새로운 전역 게이지 대칭을 암시하는가? 그에 대응하는 게이지 군의 구조는 무엇인가?
• RQ5 확률 전류 $\mathcal{J}_a^\mu$ 는 4차원 장인가? 국소적 수반성을 만족하는가?

주요 결과

• 일련의 전류 밀도 $J_a^\mu$ 는 수반된다 ($\partial_\mu J_a^\mu = 0$) 하며, 켈린-고르든 방정식의 해 공간 위에서 명백히 공변성, 양의 정부호성, 로렌츠 불변성을 갖는 내적을 제공한다.
• 장의 국소화를 위한 확률 전류 밀도 $\mathcal{J}_a^\mu$ 는 힐버트 공간 구성 방법을 통해 도출되며, $c \to \infty$ 근처에서 비상대론적 확률 전류로 줄어든다.
• $J_a^\mu$ 와 달리 전류 $\mathcal{J}_a^\mu$ 는 수반되지 않는다 ($\partial_\mu \mathcal{J}_a^\mu \neq 0$) 와 4차원 장이 아니며, 평면파의 초위상에 대한 명시적 계산을 통해 이를 입증한다.
• $\mathcal{J}_a^\mu$ 의 비수반성은 두 평면파 초위상에 의해 입증되며, $\partial_\mu \mathcal{J}_a^\mu \propto \left(\sqrt{\omega_1/\omega_2} - \sqrt{\omega_2/\omega_1}\right)$ 로 표현되며, $\omega_1 \neq \omega_2$ 일 때 비영이 된다.
• $J_a^\mu$ 는 새로운 전역 게이지 대칭에서 유래하며, $a$ 가 유리수이면 게이지 군이 $U(1)$, 무리수이면 $\mathbb{R}^+$ 임을 보여준다.
• 총 확률은 $\mathcal{J}_a^\mu$ 가 수반되지 않음에도 불구하고 $J_a^\mu$ 의 국소적 수반성 덕분에 수반되며, 이는 확률 전류의 국소적 수반성이 없음에도 총 확률 수반성이 유지되는 명백한 역설을 해결한다.