[논문 리뷰] Consistency of full-sample bootstrap for estimating high-quantile, tail probability, and tail index

С.Г. Литвинова, Mervyn J. Silvapulle|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 27.

Statistical Methods and Inference인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단변량 극단값 분포에서 고분위수, 꼬리 확률 및 극단값 지수 추정을 위한 전체표본 비모수 부트스트랩의 渐近적 타당성을 확립한다. 부트스트랩이 특히 경미한 꼬리와 무거운 꼬리에서 점점 더 신뢰할 수 있는 커버리지 비율을 제공함으로써 오랫동안 제기되어 온 극단값 추론에서의 일致성에 대한 의문을 해결한다.

ABSTRACT

We show that the full-sample bootstrap is asymptotically valid for constructing confidence intervals for high-quantiles, tail probabilities, and other tail parameters of a univariate distribution. This resolves the doubts that have been raised about the validity of such bootstrap methods. In our extensive simulation study, the overall performance of the bootstrap method was better than that of the standard asymptotic method, indicating that the bootstrap method is at least as good, if not better than, the asymptotic method for inference. This paper also lays the foundation for developing bootstrap methods for inference about tail events in multivariate statistics; this is particularly important because some of the non-bootstrap methods are complex.

연구 동기 및 목표

• 단변량 분포에서 꼬리 파ameter에 대한 전체표본 부트스트랩의 타당성에 대한 오랫동안 제기되어 온 의문을 해결하기 위해.
• 고분위수, 꼬리 확률 및 극단값 지수 추정에 대해 전체표본 부트스트랩의 渐近적 일치성을 확립하기 위해.
• 다양한 샘플 크기와 꼬리 무게에서 부트스트랩과 점점 더 우수한 성능을 보이는가를 평가하기 위해 광범위한 시뮬레이션을 수행하기 위해.
• 다변량 및 시계열 꼬리 추론으로의 부트스트랩 방법 확장에 기초를 마련하기 위해.
• 꼬리 경험 과정과 부트스트랩 이론을 사용하여 엄밀한 이론적 근거를 제공하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 원본 i.i.d. 표본에서 다시 샘플링하여 꼬리 통계량의 표본분포를 추정하기 위해 전체표본 비모수 부트스트랩을 사용한다.
• 꼬리 경험 과정 이론에 기반하여, 부트스트랩 분포가 꼬리 추정량의 진짜 표본분포로 수렴함으로써 이론적 타당성을 확립한다.
• 백분위수, 기본 및 t-방법을 사용하여 부트스트랩 신뢰구간을 구성하였으며, 힐 추정량 프레임워크 내에서 여러 k-값에 대해 성능을 평가하였다.
• Csörgő와 Mason(1989)의 꼬리 경험 과정 부트스트랩에 대한 기법을 사용하여 이론적 결과를 도출하였다.
• 다양한 꼬리의 무게, 샘플 크기 및 꼬리 확률 조건에서 부트스트랩과 점점 더 우수한 성능을 보이는지 비교하기 위해 시뮬레이션을 수행하였다.
• 부트스트랩 재표본을 사용하여 추정량의 표본분포를 근사하기 위해 힐 추정량을 사용하여 극단값 지수 추정에 적용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무거운 꼬리 분포에서 고분위수 및 꼬리 확률에 대한 신뢰구간을 구성하기 위해 전체표본 부트스트랩이 渐近적으로 타당한가?
• RQ2 커버리지 비율과 구간 길이 측면에서 부트스트랩 성능이 표준 점점 더 우수한 방법보다 어떻게 비교되는가?
• RQ3 경미한 꼬리, 무거운 꼬리, 유계 꼬리 등 다양한 꼬리 유형과 다양한 샘플 크기에서 부트스트랩 방법이 안정적인 커버리지 성능을 유지하는가?
• RQ4 힐 추정량을 통한 극단값 지수 추정에 대해 부트스트랩을 일관되게 적용할 수 있는가?
• RQ5 진짜 분위수가 관측된 최대값을 초과할 경우, 부트스트랩 신뢰구간의 유한표본 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 전체표본 부트스트랩은 단변량 분포에서 고분위수, 꼬리 확률 및 극단값 지수 추정에 대해 渐近적으로 타당하다.
• 모든 시뮬레이션에서 부트스트랩 방법은 테스트된 모든 분포에서 점점 더 우수한 성능을 보이며 명목 수준에 가까운 커버리지 비율을 달성하였다.
• 모든 분포에서 부트스트랩은 커버리지 측면에서 점점 더 우수한 성능을 보였으며, 일부 Frechet(1) 및 Frechet(2) 경우에서 꼬리 확률이 덜 극단적인 경우를 제외하고는 그러했다.
• 더 경미한 꼬리 분포(예: 정규분포, 지수분포)에서는 부트스트랩이 커버리지 신뢰성 측면에서 뚜렷한 우위를 보였다.
• 두 방법 간의 구간 길이는 유사하였으며, 이는 부트스트랩의 향상된 성능가 더 좁은 구간 덕분이 아니라는 것을 의미한다.
• 결과적으로 실무에서 꼬리 파ameter 추론에 대해 점점 더 신뢰할 수 있는 도구로 부트스트랩을 사용할 것을 지지한다.