[논문 리뷰] Consistency of least squares estimation to the parameter for stochastic differential equations under distribution uncertainty

Chen Fei, Weiyin Fei|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 분포 불확실성 하에서 G-브라운 운동에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDE)의 드리프트 파라미터에 대한 최소제곱추정량(LSE)의 강한 일致성을 확립한다. 하위선형 기대 이론과 용량 기반의 새로운 지수 마르팅글 불등식을 활용하여, 저자들은 이산적 샘플링이 증가함에 따라 LSE가 진짜 파라미터 값으로 초순수하게 수렴함을 증명한다. 이는 노이즈의 분포가 모호할 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

Under distribution uncertainty, on the basis of discrete data we investigate the consistency of the least squares estimator (LSE) of the parameter for the stochastic differential equation (SDE) where the noise are characterized by $G$-Brownian motion. In order to obtain our main result of consistency of parameter estimation, we provide some lemmas by the theory of stochastic calculus of sublinear expectation. The result shows that under some regularity conditions, the least squares estimator is strong consistent uniformly on the prior set. An illustrative example is discussed.

연구 동기 및 목표

• 분포 불확실성 하에서 SDE에 대한 통계적 추론 방법의 부족을 해결하기 위해, 특히 노이즈가 G-브라운 운동으로 특징지어질 경우를 대상으로 한다.
• 클래식한 최소제곱추정을 케인트리안 불확실성 하에서 강건한 파라미터 추정으로 확장하기 위해.
• 이산 시간 데이터를 이용한 비선형 기대 이론 프레임워크 내에서의 파라미터 추정에 대한 이론적 기초를 마련하기 위해.
• 하위선형 기대 이론 하에서 LSE의 엄밀한 일치성 증명을 제공하여, 분포 불확실성에도 불구하고 수렴 보장하기 위해.
• 모호한 분산을 가진 옴스트라인-울렌벡 과정을 사용하여 이론적 결과를 수치적으로 검증하기 위해.

제안 방법

• 분포 불확실성 하에서 G-브라운 운동에 의해 구동되는 선형 SDE에 대한 파라미터 추정 문제를 수립한다.
• 노이즈 분포의 모호성을 모델링하기 위해 하위선형 기대 이론과 G-브라운 운동 이론을 적용한다.
• 용량 기반 확률 측도를 다룰 수 있도록 하위선형 기대 이론 하에서 새로운 지수 마르팅글 불등식을 유도한다.
• G-기대 이론 프레임워크 하에서 모멘트 유계와 수렴 성질에 관한 핵심 보조정리를 수립한다.
• 과정의 이산 시간 관측값 기반으로 최소제곱추정량(LSE)을 제안한다.
• 다양한 사전 분포를 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 상한 및 하한 기대 추정량을 계산하고, 수렴 행동을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이즈의 분포가 모호할 경우, G-브라운 운동에 의해 구동되는 SDE에 대해 최소제곱추정량을 일관되게 적용할 수 있는가?
• RQ2 분포 불확실성 하에서 LSE가 초순수하게 진짜 파라미터 값으로 수렴하기 위한 정규성 조건은 무엇인가?
• RQ3 샘플링 포인트 수와 시뮬레이션 횟수가 증가함에 따라 상한 및 하한 기대 추정량은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 하위선형 기대 이론은 모호성 하에서 강건한 파라미터 추정을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 수치 시뮬레이션을 통해 G-SDE 프레임워크 내에서 LSE의 이론적 강한 일치성이 확인될 수 있는가?

주요 결과

• 모델 및 샘플링에 대한 정규성 조건 하에서, G-SDE의 드리프트 파라미터에 대한 최소제곱추정량(LSE)은 초순수하게 강하게 일치한다.
• 샘플링 포인트 수 $ n \to \infty $ 및 시뮬레이션 횟수 $ J \to \infty $일 때, LSE의 상한 및 하한 기대 추정량은 진짜 파라미터 값으로 수렴한다.
• 수치 결과에 따르면, $ n $ 이 $ 10^4 $ 에서 $ 5 \times 10^4 $ 로 증가함에 따라 상한 및 하한 추정량의 차이 $ \bar{\hat{\theta}}_{n,T} - \underline{\hat{\theta}}_{n,T} $ 는 0.0209 에서 0.0079 로 감소하여 추정 정확도 향상을 보인다.
• 고정된 $ n = 5 \times 10^4 $ 에서 $ J $ 가 $ 2^3 $ 에서 $ 2^7 $ 로 증가함에 따라 상한 및 하한 추정량의 차이가 0.1390 에서 0.0677 로 감소하여 더 많은 시뮬레이션으로 인한 수렴을 확인한다.
• LSE 추정량 $ \bar{\hat{\theta}}_{n,T} $ 과 $ \underline{\hat{\theta}}_{n,T} $ 는 모두 진짜 값 $ \theta^0 = 1 $ 에 수렴하며, $ n $ 이 증가함에 따라 $ \bar{\hat{\theta}}_{n,T} $ 는 1.0313 에서 1.0057 로 감소하고 $ \underline{\hat{\theta}}_{n,T} $ 는 1.0104 에서 0.9978 로 감소한다.
• 하위선형 기대 이론과 용량 기반 불등식을 기반으로 한 이론적 프레임워크는 분포 불확실성 하에서 강건한 파라미터 추정을 성공적으로 지원한다.