[논문 리뷰] Consistency Strengths of Modified Maximality Principles

George Leibman|ArXiv.org|2004. 06. 03.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 9인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 ccc, 코헨, 및 ≤κ-전략적으로 닫힌 포스팅 클래스와 같은 특정 포스팅 클래스에 제한된 수정된 최대성 원리(MPΓ)의 일致성 강도를 조사한다. 반복 포스팅과 모달 논리의 기법을 사용하여, MP≤κ-strat-cl(H(κ⁺⁺))와 같은 원리들이 강한 기수의 존재를 필요로 하며, 특히 ≤κ-전략적으로 닫힌 포스팅에 대해 불가분한 강한 기수의 존재를 요구함을 보여주며, 이러한 원리들이 우드린 기수와 프로젝티브 결정성 이론을 포함하는 이론들과 유사한 높은 일치성 강도를 가짐을 입증한다.

ABSTRACT

The Maximality Principle MP is a scheme which states that if a sentence of the language of ZFC is true in some forcing extension V^P, and remains true in any further forcing extension of V^P, then it is true in all forcing extensions of V. A modified maximality principle MP_Gamma arises when considering forcing with a particular class Gamma of forcing notions. A parametrized form of such a principle, MP_Gamma(X), considers formulas taking parameters; to avoid inconsistency such parameters must be restricted to a specific set X which depends on the forcing class Gamma being considered. A stronger necessary form of such a principle, Box MP_Gamma(X), occurs when it continues to be true in all Gamma forcing extensions. This study uses iterated forcing, modal logic, and other techniques to establish consistency strengths for various modified maximality principles restricted to various forcing classes, including CCC, COHEN, COLL (the forcing notions that collapse ordinals to omega),

연구 동기 및 목표

• ccc, 코헨, 및 ≤κ-전략적으로 닫힌 포스팅 클래스와 같은 특정 포스팅 클래스에 제한된 수정된 최대성 원리(MPΓ)의 일치성 강도를 결정하는 것.
• 포스팅 클래스 Γ와 연관된 집합 X에서 유래된 매개변수를 사용하는 이러한 원리의 매개변수화된 형태인 MPΓ(X)를 분석하는 것.
• 최대성 원리의 필수성 형태인 □MPΓ(X)와 그 일치성 강도를 큰 기수 공리와의 관계에서 조사하는 것.
• ≤κ-전략적으로 닫힌 포스팅에 대해 강한 기수 κ가 불가분한 모델에서 MP≤κ-strat-cl(H(κ⁺⁺))가 성립함을 보이는 것.
• 초기 서브모델과 반복 포스팅의 역할을 통해 이러한 원리를 만족하는 모델을 구성하는 것.

제안 방법

• 포스팅 확장을 가능한 세계로 해석하는 모달 논리 기법을 사용하며, 접근 가능성은 포스팅 관계로 정의되어 S4 모달 논리 프레임워크를 이룸.
• 특히 δ-반복 포스팅 구조를 사용하여 ≤κ-전략적으로 닫힌 포스팅 노선을 반복 적용함으로써 큰 기수 성질을 유지함.
• 강하게 필요한 문장(◇□φ)의 개념을 도입하고, 이와 최대성 원리 사이의 관계를 스킴 ◇□φ → □φ를 통해 연결함.
• 초기 서브모델 기법을 사용하여 Vδ ≺ V 및 Vδ[G] ≺ V[G)를 통해 포스팅 확장에서 반사성과 닫힘 성질을 유지함.
• 특정 포스팅 클래스에 대해 강한 기수의 불가분성을 달성하기 위해 로또리 준비 기법을 적용함.
• 모든 강하게 필요한 문장이 이미 필수적임을 보장함으로써 MPΓ(X)가 성립하는 일반적 확장을 구성함. 이때 δ-cc 성질을 활용하여 기수와 코finality를 유지함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ccc 포스팅에 실수 매개변수를 사용하는 최대성 원리 MPccc(R)의 일치성 강도는 무엇인가?
• RQ2 필수성 형태 □MPccc(R)는 우주 구조에 어떤 영향을 미치며, 특히 ω₁이 실수에 대해 비가역적임과의 관계는 어떠한가?
• RQ3 강한 기수 κ가 ≤κ-전략적으로 닫힌 포스팅에 대해 불가분한 모델에서 MP≤κ-strat-cl(H(κ⁺⁺))가 성립하기 위해 필요한 큰 기수 가정은 무엇인가?
• RQ4 ordinal을 붕괴시키거나 특정 기수 구조를 유지하는 포스팅 클래스 Γ에 대해, 최대성 원리 MPΓ(X)가 일致적으로 만족될 수 있는가?
• RQ5 MP≤κ-strat-cl(H(κ⁺⁺))의 일치성 강도와 Vδ ≺ V 및 δ가 비가역적인 강한 기수 κ가 존재하는 것 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• MPccc(R)는 ω₁이 실수에 대해 비가역적인 모델을 포함하는 ZFC 모델에 대해 일치적으로 성립하며, □MPccc(R)는 ω₁이 실수에 대해 비가역적임을 암시함.
• 강한 기수 κ가 ≤κ-전략적으로 닫힌 포스팅에 대해 불가분한 모델에서 MP≤κ-strat-cl(H(κ⁺⁺))가 성립하며, 이는 Vδ ≺ V, δ가 비가역적, κ < δ를 만족하는 모델이 존재한다고 가정할 경우 성립함.
• MP≤κ-strat-cl(H(κ⁺⁺))의 일치성 강도는 Vδ ≺ V 및 δ가 비가역적인 강한 기수의 존재를 상한으로, 강한 기수 위에 마흐로 기수가 존재하는 것의 존재를 하한으로 제한함.
• MP≤κ-strat-cl(H(κ⁺⁺))를 만족하는 모델을 구성하기 위해 사용된 포스팅 반복은 δ-cc 성질을 가지며, δ를 유지하고 최종 확장에서 δ가 κ⁺⁺가 되도록 보장함.
• 이러한 구성은 강한 기수가 이미 관련 포스팅 클래스에 대해 불가분한 모델의 일반적 확장에서 MP≤κ-strat-cl(H(κ⁺⁺))가 강제로 성립할 수 있음을 보여줌.
• 논문은 MP≤κ-strat-cl(H(κ⁺⁺))가 강한 기수의 불가분성을 갖는 경우의 일치성 강도가 ZFC + 'κ strong' + Vδ ≺ V + 'δ 비가역적' + κ < δ 이론과 동치일 것이라 추측함.