[논문 리뷰] Consistent Inversion of Noisy Non-Abelian X-Ray Transforms

François Monard, Richard Nickl외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 02.

Geophysical and Geoelectrical Methods참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비아벨 X선 변환 CΦ ∈ SO(n)의 노이즈 있는 이산 측정값으로부터 행렬장 Φ : M → so(n)을 복원하기 위한 베이지안 통계 역행렬 방법을 제안한다. 가우시안 프로세스 사전분포와 무한차원 MCMC를 사용하며, 빈도주의 일致성(consistency)을 입증한다. 이는 부드러운 Φ에 대해 L²(M)-노름에서 진짜 Φ로의 수렴 속도가 N⁻ᵝ의 대수적 비율로 이루어지며, 부드러움과 차원에 따라 달라지는 β > 0 이다. 이는 비선형 역함수 CΦ → Φ에 대한 새로운 정량적 안정성 추정식에 기반한다.

ABSTRACT

For $M$ a simple surface, the non-linear statistical inverse problem of recovering a matrix field $Φ: M o \mathfrak{so}(n)$ from discrete, noisy measurements of the $SO(n)$-valued scattering data $C_Φ$ of a solution of a matrix ODE is considered ($n\geq 2$). Injectivity of the map $Φ\mapsto C_Φ$ was established by [Paternain, Salo, Uhlmann; Geom.Funct.Anal. 2012]. A statistical algorithm for the solution of this inverse problem based on Gaussian process priors is proposed, and it is shown how it can be implemented by infinite-dimensional MCMC methods. It is further shown that as the number $N$ of measurements of point-evaluations of $C_Φ$ increases, the statistical error in the recovery of $Φ$ converges to zero in $L^2(M)$-distance at a rate that is algebraic in $1/N$, and approaches $1/\sqrt N$ for smooth matrix fields $Φ$. The proof relies, among other things, on a new stability estimate for the inverse map $C_Φ o Φ$. Key applications of our results are discussed in the case $n=3$ to polarimetric neutron tomography, see [Desai et al., Nature Sc.Rep. 2018] and [Hilger et al., Nature Comm. 2018]

연구 동기 및 목표

• 비아벨 X선 변환 CΦ의 이산적이고 노이즈 있는 측정값으로부터 행렬장 Φ를 복원하기 위한 통계적으로 일致한 방법을 개발한다.
• 역문제에서 비아벨 X선 변환에 대한 명시적 복원 공식이 부족한 문제를 다룬다.
• 측정 수 N → ∞ 일 때, 베이지안 사후 평균이 Φ를 복원하는 데 이론적으로 일치함을 확립한다.
• 구현을 위한 실용적인 알고리즘을 제공한다. 이는 가우시안 프로세스 사전분포와 무한차원 MCMC를 기반으로 한다.
• 역함수 CΦ → Φ에 대한 새로운 정량적 안정성 추정식을 유도한다. 이는 수렴 속도를 증명하는 데 필수적이다.

제안 방법

• 행렬장 Φ : M → so(n)에 대해 가우시안 프로세스 사전분포를 사용하는 베이지안 프레임워크를 도입하여 역문제의 정규화를 수행한다.
• 무한차원 마르코프 체인 몬테카를로(MCMC) 방법을 사용하여 사후 분포와 사후 평균 추정치를 계산한다.
• 역함수 CΦ → Φ에 대한 새로운 안정성 추정식을 도입하며, 이는 산란 데이터 CΦ의 L²(∂+SM) 오차가 Φ의 L²(M) 오차로 어떻게 전이되는지를 정량적으로 기술한다.
• 소볼레프 공간에서의 보간 부등식을 적용하여 산란 데이터와 재구성된 필드 간의 정규성 간의 연결을 확립한다.
• 측정 수 N이 증가함에 따라 사후 조건부 측도의 농도 경계와 안정성 추정식을 결합하여 수렴 속도를 도출한다.
• 지오데식 레이 적분을 모델링하는 전진 연산자를 사용하여 이산화된 영역에서 수치적으로 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이즈 있는 이산 측정값으로부터 비아벨 X선 변환 CΦ의 행렬장 Φ를 복원하기 위한 베이지안 통계 알고리즘이 일관된 복원을 달성할 수 있는가?
• RQ2 측정 수 N이 증가함에 따라 사후 평균이 L²(M)에서 진짜 Φ로 수렴하는 최적의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 수렴 분석을 뒷받침하기 위해 역함수 CΦ → Φ에 대한 정량적 안정성 추정식을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 사후 수축 속도는 진짜 필드 Φ의 부드러움과 데이터 노이즈 수준과 어떻게 연관될 수 있는가?
• RQ5 무한차원 역문제는 MCMC 방법을 사용하여 어떻게 실용적으로 구현할 수 있는가?

주요 결과

• 측정 수 N → ∞ 일 때, 사후 평균 추정치 ¯Φ(DN)이 확률적으로 진짜 Φ₀로 L²(M)-노름에서 수렴함을 입증하여 빈도주의 일치성을 확립한다.
• 수렴 속도는 1/N에 대한 대수적 비율이며, 특히 N⁻ᵝ의 순서를 가지며, β = α/(2α + 2) × (¯β − 1)/¯β 이다. 여기서 α > β + 1 이고, ¯β ∈ (1, β)는 정수이다.
• 부드러운 Φ₀ ∈ Cα(M) 이며 α > 2 이면, 속도는 N⁻¹ᐟ²에 수렴하며, 이는 최적의 파arametric 속도와 일치한다.
• 역함수 CΦ → Φ에 대한 새로운 정량적 안정성 추정식을 증명하였으며, 유계인 C¹ 노름 조건 하에 ∥Φ − Φ₀∥L²(M) ≤ C ∥CΦ − CΦ₀∥H¹(∂+SM) 이 성립함을 보였다.
• 사후 수축 속도가 O(δN) 이며, δN = N⁻ᵅ/(2α+2) 이며, 이 속도는 모멘트 및 尾部 경계를 통해 사후 평균으로 전달됨을 보였다.
• 수치적으로 방법을 검증하였으며, 펄라리메트릭 중성자 단층촬영(PNT)에 적용하였으며, 실제 영상 응용 분야와의 관련성이 있다.