[논문 리뷰] Consistent mass matrix of ten nodes tetrahedral element based on analytical integration

Eli Hanukah|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 05.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 직선 모서리를 가진 요소에 대해 정확한 적분을 사용하고 곡선 모서리를 가진 요소에 대해 반분석적 근사를 사용하여 10절점 테트라하드론 유한요소의 일관 질량 행렬에 대한 폐쇄형 해석적 표현을 제시한다. 제안된 일정(예: CM), 선형(예: LM), 이차(예: QM) 메트릭 근사법은 정확도와 계산 효율성이 매우 뛰어난 질량 행렬을 도출하며, 표준 가우스 구적법보다 정확도와 효율성 면에서 뛰어나다.

ABSTRACT

Currently, components of consistent mass matrix are computed using various numerical integration schemes, each one alters in number of integration (Gauss) points, requires different amount of computations and possess different level of accuracy. We discuss the closed-form mass matrix based on analytical integration. Curved-sided and straight-sided elements are considered. For a straight-sided element we derive an exact analytical easy to implement consistent mass matrix. For a curved-sided element an exact analytical mass matrix is derived, however it is rather lengthy, hence approximations are proposed. Three systematic approximations to the metric (jacobian determinant) are suggested; constant metric (CM), linearly varying metric (LM) and quadratic metric (QM). CM requires evaluation of the metric at the centroid, LM requires metric evaluations at the four corner nodes and QM uses metric values at all the ten nodes. Analytical integration together with approximated metric models yields closed-form semi-analytical mass matrices. The accuracy of the schemes is studied numerically using randomly generated coarse mesh. Our findings reveal significant superiority in accuracy and computations over equivalent schemes. An important implication of this study is that based on the results, it is superior to use our CM, LM and QM semi-analytical mass matrices over mass matrices based on numerical integration schemes which involve four, five and fifteen point Gauss quadrature. For a straight-sided element, CM, LM and QM admit an exact consistent mass matrix.

연구 동기 및 목표

• 유한요소 분석에 사용되는 10절점 테트라하드론 요소에 대해 정확하고 효율적인 일관 질량 행렬을 개발하기 위해.
• 가우스 구적법과 같은 전통적인 수치적 적분 기법의 계산 비용과 정확도 한계를 극복하기 위해.
• 직선 모서리를 가진 요소에 대해 폐쇄형 해를 제공하고, 곡선 모서리를 가진 요소에 대해 실용적인 반분석적 근사를 제공하기 위해.
• 표준 수치적 적분 방법과 비교하여 다양한 메트릭 근사 모델(CM, LM, QM)의 정확도와 계산 효율성을 평가하고 비교하기 위해.

제안 방법

• 요소 영역에 대한 해석적 적분을 사용하여 직선 모서리를 가진 10절점 테트라하드론 요소에 대해 정확한 해석적 일관 질량 행렬을 유도한다.
• 자기행렬 행렬식(Jacobian determinant)에 대한 세 가지 근사법을 제안한다: 중심점에서 일정(예: CM), 모서리 절점에서 선형 변화(예: LM), 모든 10개 절점에서 이차 변화(예: QM).
• 해석적 적분과 근사된 메트릭 모델을 조합하여 폐쇄형 반분석 질량 행렬을 도출한다.
• 무작위로 생성된 거친 메쉬를 대상으로 수치 실험을 수행하여 정확도와 계산 성능을 검증한다.
• 비교 기준으로 4점, 5점, 15점의 가우스 구적법을 사용한다.
• 곡선 모서리를 가진 요소와 직선 모서리를 가진 요소 모두에 적용하며, 정확한 결과는 오직 후자에 대해서만 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직선 모서리를 가진 10절점 테트라하드론 요소에 대해 해석적 적분을 사용하여 정확한 해석적 일관 질량 행렬을 도출할 수 있는가?
• RQ2 정확한 적분이 비현실적인 곡선 모서리를 가진 10절점 테트라하드론 요소에 대해 정확하고 효율적인 질량 행렬을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 표준 가우스 구적법과 비교하여 CM, LM, QM 메트릭 근사법의 정확도와 계산 비용은 어떻게 다른가?
• RQ4 제안된 반분석적 접근법은 4점, 5점, 15점의 가우스 구적법과 비교하여 더 뛰어난 정확도와 효율성을 보이는가?

주요 결과

• 직선 모서리를 가진 10절점 테트라하드론 요소에 대해, 형상 함수와 기하학의 다항식 성질 덕분에 CM, LM, QM 근사법이 정확한 일관 질량 행렬을 도출한다.
• CM, LM, QM 반분석 질량 행렬은 4점, 5점, 15점의 가우스 구적법과 동일한 수준의 수치적 적분 기법보다 유의미하게 더 높은 정확도를 달성한다.
• 제안된 방법은 계산 비용을 감소시키면서도 정확도를 유지하거나 향상시키며, 특히 거친 메쉬 구성에서 뛰어난 성능을 보인다.
• CM 근사는 중심점에서 한 번의 메트릭 평가만 필요하고, LM은 모서리 절점에서 네 번의 평가가 필요하며, QM은 모든 10개 절점의 값을 사용하여 정확도와 복잡도가 증가한다.
• 수치 결과는 반분석적 접근법이 테스트된 메쉬 구성에서 표준 가우스 구적법보다 정확도와 효율성 면에서 뛰어나다는 것을 입증한다.
• 연구 결과, 10절점 테트라하드론 요소에 대해 수치적 적분 기법을 사용하는 것보다 CM, LM, QM 반분석 질량 행렬을 사용하는 것이 더 우수하다고 결론을 내린다.