[논문 리뷰] Consistent Modeling of VIX and Equity Derivatives Using a 3/2 plus Jumps Model

Jan Baldeaux, Alexander Badran|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 27.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 주가 지수의 확률적 변동성 과정과 함께 지수 가격에 점프를 통합한 3/2 plus jumps 모델을 제안한다. 이 모델은 주식 및 VIX 파생상품을 일관되게 가격화하면서도 분석적 해법을 유지하며, VIX 옵션의 상승하는 임의의 변동성 스케일과 단기 주가 지수 옵션의 스마일을 정확히 반영한다. 이는 점프가 VIX 모델링의 일관성을 확보하기 위해 반드시 필요하다는 기존의 견해에 도전한다.

ABSTRACT

The paper demonstrates that a pure-diffusion 3/2 model is able to capture the observed upward-sloping implied volatility skew in VIX options. This observation contradicts a common perception in the literature that jumps are required for the consistent modelling of equity and VIX derivatives. The pure-diffusion model, however, struggles to reproduce the smile in the implied volatilities of short-term index options. One remedy to this problem is to augment the model by introducing jumps in the index. The resulting 3/2 plus jumps model turns out to be as tractable as its pure-diffusion counterpart when it comes to pricing equity, realized variance and VIX derivatives, but accurately captures the smile in implied volatilities of short-term index options.

연구 동기 및 목표

• 주식 및 VIX 파생상품을 동시에 가격화하면서도 분석적 해법을 유지하는 단순한 모델을 개발하는 것.
• 기존 문헌에서 일반적으로 가정되는 바와 같이 점프가 VIX 옵션의 일관된 모델링에 반드시 필요하다는 점을 도전하는 것.
• 3/2 확률적 변동성 모델에 점프를 추가하여 단기 주가 지수 옵션의 임의의 변동성에 대한 적합도를 향상시키는 것.
• 제안된 프레임워크 하에서 VIX 선물 및 옵션에 대한 준폐쇄형 가격 공식을 유도하는 것.
• 3/2 plus jumps 모델이 시장에서 관찰된 변동성 패tern을 설명하는 데 있어 순수 확산형 3/2 모델 및 기타 유사 복잡도의 모델보다 뛰어난 성능을 보임을 보여주는 것.

제안 방법

• 지수 가격에만 점프가 포함된 3/2 확률적 변동성 과정을 사용하여 기초 자산의 동역학을 모델링하는 것.
• 기본 VIX 공식을 사용하여 실현 변동성의 함수로서 VIX를 도출하고, 지수의 통합 변동성과 연결하는 것.
• 역 3/2 과정(역제곱근 과정)의 전이 밀도를 사용하여 시간에 따른 변동성 분포를 표현하는 것.
• Zhang-Zhu 공식을 적용하여 VIX 선물 및 옵션의 공정가치를 변동성 분포에 대한 기대값의 할인된 합으로 계산하는 것.
• 비중앙 카이제곱 분포에 대한 기존 결과를 활용하여 변동성 과정의 전이 밀도를 분석적으로 표현하는 것.
• 복합 포아송 과정을 통해 점프를 통합하여 점프 리스크 존재하에서도 닫힌 형태의 표현식을 가능하게 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순수 확산형 3/2 모델이 VIX 옵션에서 관찰되는 상승하는 임의의 변동성 스케일을 재현할 수 있는가?
• RQ2 지수에 점프를 포함시키는 것이 분석적 해법을 희생시키지 않고도 단기 주가 지수 옵션의 임의의 변동성에 대한 적합도를 향상시키는가?
• RQ3 3/2 plus jumps 모델이 분석적 효율성을 유지하면서 주식 및 VIX 파생상품을 일관되게 가격화할 수 있는가?
• RQ4 3/2 plus jumps 모델은 유사한 복잡도를 가진 다른 모델들과 비교하여 실제로 시장에서 관측된 변동성 곡면을 얼마나 잘 설명하는가?
• RQ5 3/2 프레임워크에 점프를 포함한 상황에서 VIX가 기초 자산의 동역학으로부터 일관되게 유도될 수 있는가? 이는 모델 일관성을 보장한다.

주요 결과

• 순수 확산형 3/2 모델이 VIX 옵션에서 관찰되는 상승하는 임의의 변동성 스케일을 성공적으로 재현하며, 이는 점프가 이 특성을 유도하기 위해 반드시 필요하다는 믿음에 도전한다.
• 3/2 plus jumps 모델은 순수 확산형 3/2 모델보다 단기 주가 지수 옵션의 임의의 변동성에 대한 적합도가 향상되어 관측된 스마일을 반영한다.
• Zhang-Zhu 공식과 알려진 전이 밀도를 활용하여 VIX 선물 및 옵션에 대한 준폐쇄형 가격 공식을 유지한다.
• 3/2 모델에서 변동성 과정의 전이 밀도는 분석적으로 해석 가능하며, 역전된 경우 비중앙 카이제곱 분포를 따른다.
• 지수에 점프를 포함시키는 것은 모델의 분석적 해법을 손상시키지 않으며, 계산 효율성을 유지한다.
• 3/2 plus jumps 모델은 주식 및 VIX 파생상품의 공동 가격 설정을 위한 이전의 모델들보다 더 단순하고 경험적으로 정확한 대안을 제공한다.