[논문 리뷰] Consistent Pricing of VIX and Equity Derivatives with the 4/2 Stochastic Volatility Plus Jumps Model

Wei Lin, Shenghong Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 점프를 포함한 4/2 확률적 변동성 모델을 소개한다. 이 모델은 Heston 및 3/2 모델의 특성을 결합한 형태로, 변동성 과정이 $ a\sqrt{V_t} + b/\sqrt{V_t} $ 의 형태를 띠며, 주식 및 VIX 파생상품의 일관된 가격 정책을 가능하게 한다. 리 에 symmetry 이론을 적용하여 연합 푸리에-라플라스 변환에 대한 폐쇄형 해를 도출하였으며, 이는 Heston, 3/2 및 블랙-쇼스 모델 대비 VIX 선물 및 옵션 가격 정책에서 뛰어난 외부 샘플 성능을 달성한다.

ABSTRACT

In this paper, we develop a 4/2 stochastic volatility plus jumps model, namely, a new stochastic volatility model including the Heston model and 3/2 model as special cases. Our model is highly tractable by applying the Lie symmetries theory for PDEs, which means that the pricing procedure can be performed efficiently. In fact, we obtain a closed-form solution for the joint Fourier-Laplace transform so that equity and realized-variance derivatives can be priced. We also employ our model to consistently price equity and VIX derivatives. In this process, the quasi-closed-form solutions for future and option prices are derived. Furthermore, through adopting data on daily VIX future and option prices, we investigate our model along with the Heston model and 3/2 model and compare their different performance in practice. Our result illustrates that the 4/2 model with an instantaneous volatility of the form $(a\sqrt{V_t}+b/\sqrt{V_t})$ for some constants $a, b$ presents considerable advantages in pricing VIX derivatives.

연구 동기 및 목표

• Heston 및 3/2 모델을 모두 확장하면서도 해석적 취급 가능성을 유지하는 통합된 확률적 변동성 모델을 개발한다.
• 순간 변동성의 초월을 1/2 및 3/2 항의 조합으로 모델링하여 주식 및 VIX 파생상품의 일관된 가격 정책을 가능하게 한다.
• 리 대칭 이론을 적용하여 모델의 연합 푸리에-라플라스 변환에 대한 폐쇄형 해를 도출한다.
• Heston, 3/2 및 블랙-쇼스 모델 대비 4/2 모델의 VIX 선물 및 옵션 가격 정책 성능을 실증적으로 평가한다.
• 시장 역학을 잘 반영하는지 평가하기 위해 모델의 외부 샘플 예측 정확도 및 강건성을 평가한다.

제안 방법

• 순간 변동성이 $ dV_t = \kappa(\theta - V_t)dt + (a\sqrt{V_t} + b/\sqrt{V_t})dW_t $ 의 형태를 따르는 4/2 확률적 변동성 모델을 제안하며, 이는 Heston(1/2) 및 3/2 동역학을 결합한다.
• 모델과 관련된 포커-플랑크 편미분방정식에 리 대칭 이론을 적용하여 연합 특성 함수에 대한 폐쇄형 해를 유도한다.
• 유도된 변환을 활용하여 주식 옵션, VIX 선물, VIX 옵션의 가격을 역 푸리에-라플라스 변환을 통해 산정한다.
• 2014년 3월의 일일 VIX 선물 및 옵션 데이터를 사용하여 모델을 校정하며, 내부 샘플 데이터로부터의 매개변수 추정을 실시한다.
• 예측 성능 평가를 위해 추정된 매개변수를 활용하여 2014년 3월 14일의 옵션 가격을 예측하고, 평균 상대 가격 오차(ARPE)를 계산한다.
• 블랙-쇼스, 헤스톤, 3/2 및 4/2 모델 간의 성능을 비교하기 위해 내부 샘플 및 외부 샘플 데이터에서 ARPE(평균 상대 가격 오차)를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Heston 및 3/2 동역학을 통합하는 통합된 확률적 변동성 모델이 주식 및 VIX 파생상품을 일관되게 가격 정책할 수 있는가?
• RQ2 변동성 과정이 $ a\sqrt{V_t} + b/\sqrt{V_t} $ 의 형태를 띠는 4/2 모델이 VIX 파생상품에 대해 헤스톤 또는 3/2 모델보다 더 높은 가격 정책 정확도를 제공하는가?
• RQ3 리 대칭 이론을 통해 유도된 4/2 모델의 폐쇄형 해는 파생상품 가격 정책에서 계산 효율성 및 정확도를 얼마나 향상시키는가?
• RQ4 기준 모델 대비 4/2 모델이 VIX 옵션의 외부 샘플 가격 정책에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 기초 자산에 점프를 포함함으로써 모델이 관측된 VIX 옵션 시장 데이터의 임의의 변동성 기울기를 더 잘 맞출 수 있는가?

주요 결과

• 모든 테스트된 모델 중에서 4/2 모델이 가장 낮은 외부 샘플 ARPE(14.55%)를 기록하였으며, 이는 헤스톤(15.22%), 3/2(16.36%), 블랙-쇼스(30.19%)보다 뚜렷이 뛰어난 성능을 보였다.
• 서로 다른 가격 수준의 옵션에 대해, 4/2 모델은 ATM(현행가) 옵션에서 ARPE 14.23%를 기록하였으며, 이는 헤스톤의 8.76%보다는 높지만 3/2의 10.13%보다 낮아 강력한 전반적 강건성을 보였다.
• 4/2 모델은 ITM(내재가치) 옵션의 가격 정책에서 가장 뛰어난 성능을 보였으며, 헤스톤 및 3/2 모델보다 유의미하게 낮은 오차를 기록하였다.
• 리 대칭 이론 기반의 폐쇄형 해는 주식 및 실현 변동성 파생상품의 효율적이고 정확한 가격 정책을 가능하게 하였다.
• 4/2 모델은 VIX 옵션의 임의의 변동성 기울기의 적합도에서 뚜렷한 향상을 보였으며, 특히 시장 데이터와 일치하는 상승 기울기의 기울기를 잘 반영하였다.
• 4/2 모델은 외부 샘플 테스트에서도 높은 예측 능력을 유지하였으며, 내부 샘플 대비 ARPE 증가 폭이 미미하여 과적합이 낮고 강건함을 보였다.