[논문 리뷰] Constacyclic Codes over $F_p+vF_p$

Guanghui Zhang, Bocong Chen|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 04.

Coding theory and cryptography참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p$를 홀수 소수로 하고 $v^2 = v$인 환 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 위에서 모든 상수순환 코드를 특성화하며, 이들이 주로 생성됨을 보이고 명시적인 다항식 생성자를 제공한다. 또한 이 상수순환 코드들의 쌍대 코드를 $\mathbb{F}_p$ 위의 성분으로 분해함으로써 규명하며, 표준 형식에서 생성 다항식의 역으로 생성된다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we study constacyclic codes over $F_p+vF_p$, where $p$ is an odd prime and $v^2=v$. The polynomial generators of all constacyclic codes over $F_p+vF_p$ are characterized and their dual codes are also determined.

연구 동기 및 목표

• 기존의 $\ mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 위에서의 순환 및 상수순환 코드에 대한 결과를 임의의 길이의 모든 상수순환 코드로 일반화한다.
• 모든 단위 $\theta$에 대해 $R = \mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 위에서의 $\theta$-상수순환 코드의 다항식 생성자를 특성화한다.
• 이 상수순환 코드들의 쌍대 코드의 구조를 규명하고 주성분성을 확립한다.
• $\ mathbb{F}_p$ 위의 성분으로 코드를 분해하는 방법을 통해 $\ mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 위에서의 상수순환 코드의 이중성 이론을 확장한다.
• 특히 $\theta = 1-2v$ 또는 $-1+2v$일 경우, 그레이 맵이 $\theta$-상수순환 코드의 이중성을 유지함을 보이며, 이를 $\ mathbb{F}_p$ 위의 거리 불변 순환 코드와 연결한다.

제안 방법

• 상수순환 코드를 $R = \mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 이며 단위 $\theta$인 $R[x]/\langle x^n - \theta \rangle$의 아이디얼로 표현한다.
• 모든 $R$ 위의 코드 $C$를 유일하게 $C = vC_{1-v} \oplus (1-v)C_v$로 분해하며, 여기서 $C_{1-v}, C_v$ 는 $\ mathbb{F}_p$ 위의 선형 코드이다.
• $R[x]$에서 $x^n - \theta$의 모닉 약수를 이용하여 $\theta$-상수순환 코드의 생성 다항식을 특성화한다.
• 성분 $g_{1-v}(x)$ 와 $g_v(x)$ 에서 생성 다항식을 구성함으로써, $R$ 위의 모든 상수순환 코드가 주로 생성됨을 증명한다.
• 표준 형식의 생성 집합 $\{v g_{1-v}(x), (1-v) g_v(x)\}$ 을 사용하여 코드와 그 쌍대를 기술한다.
• 쌍대 코드 $C^\perp$ 가 $\{v h_{1-v}^*(x), (1-v) h_v^*(x)\}$ 로 생성됨을 보여 이중성을 확립하며, 여기서 $h_{1-v}^*, h_v^*$ 는 각각 $g_{1-v}, g_v$ 의 쌍대 다항식이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 소수 $p$ 와 $v^2 = v$ 조건을 만족하는 $\ mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 위에서 모든 $\theta$-상수순환 코드의 구조는 무엇인가?
• RQ2 모든 $\ mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 위의 상수순환 코드는 주로 생성되는가? 만약 그렇다면 생성 다항식은 무엇인가?
• RQ3 상수순환 코드의 쌍대 코드는 다항식 생성자로 어떻게 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ4 표준 그레이 맵 하에서 $\theta$-상수순환 코드의 그레이 이미지와 그 쌍대 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 $\ mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 위에서의 상수순환 코드에 대해 그레이 맵이 이중성을 유지하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $\theta$-상수순환 코드는 주로 생성되며, 생성 다항식은 $g(x) = v g_{1-v}(x) + (1-v) g_v(x)$ 의 형태를 가지며, 여기서 $g_{1-v}(x)$ 와 $g_v(x)$ 는 각각 $\ mathbb{F}_p[x]$ 에서 $x^n - \lambda$ 와 $x^n - \mu$ 의 모닉 약수이다.
• 상수순환 코드 $C$ 의 쌍대 코드 $C^\perp$ 는 또한 $\theta^{-1}$-상수순환이며, $\{v h_{1-v}^*(x), (1-v) h_v^*(x)\}$ 로 생성된다. 여기서 $h_{1-v}^*, h_v^*$ 는 각각 $g_{1-v}, g_v$ 의 쌍대 다항식이다.
• 쌍대 코드는 $C^\perp = v C_{1-v}^\perp \oplus (1-v) C_v^\perp$ 를 만족하며, 크기는 $|C^\perp| = p^{\deg(g_{1-v}(x)) + \deg(g_v(x))}$ 이다.
• $\theta = 1-2v$ 또는 $-1+2v$ 일 경우, 그레이 이미지 $\phi_\theta(C^\perp)$ 는 $\ mathbb{F}_p[x]$ 에서 $h_{1-v}^*(x) h_v^*(x)$ 가 생성하는 아이디얼과 같다.
• 그레이 맵은 $\phi_\theta(C^\perp) = (\phi_\theta(C))^\perp$ 를 만족하며, 이는 이러한 특수한 상수순환 코드에 대해 이중성이 그레이 맵 하에서 유지됨을 보여준다.
• 예시로, $\ mathbb{F}_3 + v\mathbb{F}_3$ 위에서 길이 10인 $(-1+2v)$-상수순환 코드는 생성 다항식 $x^4 + (2v-1)x^3 + (1-v)x^2 - x + 1$ 을 가지며, 그레이 맵을 통해 $\ mathbb{F}_3$ 위의 $[20,12,4]$ 순환 코드로 변환되며, 이는 생성 다항식 $(x^4 + x^3 - x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$ 으로 생성된다.