[논문 리뷰] Constacyclic symbol-pair codes: lower bounds and optimal constructions

Bocong Chen, Liren Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 11.

Coding theory and cryptography참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 반복근 순환 코드를 포함한 상수순환 코드의 최소 쌍거리에 대한 세 가지 새로운 하한을 설정하고, 반복근 순환 코드를 사용하여 최소 쌍거리가 7과 8인 새로운 최적의 MDS 심볼-쌍 코드를 구성한다. 결과는 이전의 심볼-쌍 코드 연구를 확장하며, 이전의 한계를 초월한 개선된 쌍거리로 최적의 MDS 코드를 명시적으로 구성한다.

ABSTRACT

Symbol-pair codes introduced by Cassuto and Blaum (2010) are designed to protect against pair errors in symbol-pair read channels. The higher the minimum pair distance, the more pair errors the code can correct. MDS symbol-pair codes are optimal in the sense that pair distance cannot be improved for given length and code size. The contribution of this paper is twofold. First we present three lower bounds for the minimum pair distance of constacyclic codes, the first two of which generalize the previously known results due to Cassuto and Blaum (2011) and Kai {\it et al.} (2015). The third one exhibits a lower bound for the minimum pair distance of repeated-root cyclic codes. Second we obtain new MDS symbol-pair codes with minimum pair distance seven and eight through repeated-root cyclic codes.

연구 동기 및 목표

• 기존의 상수순환 코드에 대한 최소 쌍거리에 대한 하한을 일반화하여 Cassuto와 Blaum(2011) 및 Kai 등(2015)의 결과를 확장한다.
• 반복근 순환 코드의 최소 쌍거리에 대한 새로운 하한을 설정한다.
• 반복근 순환 코드를 사용하여 최소 쌍거리가 7과 8인 새로운 MDS 심볼-쌍 코드를 구성한다.
• 최적의 심볼-쌍 코드를 명시적으로 구성하여 싱글턴 경계를 충족하고 이전의 한계를 초월한 향상된 쌍거리 달성

제안 방법

• 대수적 및 조합 기법을 사용하여 상수순환 코드의 최소 쌍거리에 대한 세 가지 새로운 하한을 유도한다.
• Hartmann-Tzeng 하한을 적용하여 구성된 순환 코드의 최소 해밍 거리를 검증한다.
• 반복근 순환 코드의 생성 다항식 구조를 활용하여 비영인 계수의 분포 및 연속된 위치를 분석한다.
• 해밍 거리와 쌍거리 간의 관계를 활용하여 부등식 $ d_H + 1 \leq d_p \leq 2d_H $ 를 이용해 쌍거리 하한을 유추한다.
• 목적 파rameter를 달성하기 위해 $ \mathbb{F}_p $ 위의 특정 순환 코드를 생성 다항식 $ (x-1)^3(x-\omega)^2(x-\omega^2) $ 를 사용하여 구성한다.
• 연속된 비영인 성분을 가진 낮은 무게의 코드어가 존재하지 않음을 검증하여 쌍거리 하한을 강화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 결과를 초월하여 상수순환 코드의 최소 쌍거리에 대해 더 날카운 하한을 설정할 수 있는가?
• RQ2 반복근 순환 코드의 최소 쌍거리는 무엇이며, 그 해밍 거리와 독립적으로 하한을 설정할 수 있는가?
• RQ3 반복근 순환 코드를 사용하여 최소 쌍거리가 7 또는 8인 MDS 심볼-쌍 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ4 반복근 순환 코드가 MDS 심볼-쌍 코드를 유도하는 조건는 무엇인가?
• RQ5 $ q^2 \equiv 1 \pmod{n} $ 인 경우, $ q $-순환 코스 모듈로 $ n $ 이 최적의 심볼-쌍 코드 구성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 반복근 순환 코드의 최소 쌍거리에 대한 새로운 하한이 확립되었으며, 길이 $ 3p $, 파arms $ [3p, 3p-6, 4] $ 인 코드 $ \mathcal{D} $ 에 대해 $ d_p(\mathcal{D}) \geq 6 $ 임을 보여준다.
• 논문은 반복근 순환 코드를 사용하여 최소 쌍거리가 7과 8인 MDS 심볼-쌍 코드를 구성하여 싱글턴 경계를 달성한다.
• 체 $ \mathbb{F}_q $ 위의 길이 $ n $ 인 순환 코드 $ \mathcal{C} $ 에 대해 정의 집합 $ C_0 \cup C_1 \cup C_{q+1} $ 를 가질 때, 최소 해밍 거리가 정확히 4임을 보여준다. 이는 거의 MDS 코드임을 의미한다.
• 코드 $ \mathcal{C} $ 는 파arms $ [n, n-4, 4] $ 를 가지며, $ n-4 \geq q $ 이므로 MDS가 될 수 없음을 증명하여 거의 MDS 상태임을 확인한다.
• 해밍 무게가 5 또는 6이면서 연속된 비영인 성분을 가진 코드어가 존재하지 않음을 엄밀히 증명하여 더 높은 쌍거리 하한을 뒷받침한다.
• 구성 과정을 통해 $ d_p = 7 $ 과 $ d_p = 8 $ 인 MDS 심볼-쌍 코드를 도출하였으며, 이는 이전에 알려진 클래스를 초월하여 이러한 최적의 코드가 존재함을 보여준다.