[논문 리뷰] Constant Factor Lasserre Integrality Gaps for Graph Partitioning Problems

Venkatesan Guruswami, Ali Kemal Sinop외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 27.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 균형 잡힌 분할(Balanced Separator) 및 균일한 희박한 가장자리 문제(Uniform Sparsest Cut)의 맥락에서 Lasserre 계층 구조에 대해 상수 요인의 정수성 간극을 확립한다. 이는 심지어 Ω(n) 수준의 계층 구조조차도 상수 요인의 근사치를 달성하지 못함을 보여준다. 저자들은 확장자 그래프와 구조적 제약 조건을 사용하여 명시적인 정수성 간극 인스턴스를 구성함으로써, 이러한 기본적인 그래프 분할 문제에 대해 계층 구조가 상수 근사해를 증명할 수 없음을 보였다.

ABSTRACT

Partitioning the vertices of a graph into two roughly equal parts while minimizing the number of edges crossing the cut is a fundamental problem (called Balanced Separator) that arises in many settings. For this problem, and variants such as the Uniform Sparsest Cut problem where the goal is to minimize the fraction of pairs on opposite sides of the cut that are connected by an edge, there are large gaps between the known approximation algorithms and non-approximability results. While no constant factor approximation algorithms are known, even APX-hardness is not known either. In this work we prove that for balanced separator and uniform sparsest cut, semidefinite programs from the Lasserre hierarchy (which are the most powerful relaxations studied in the literature) have an integrality gap bounded away from $1$, even for $Ω(n)$ levels of the hierarchy. This complements recent algorithmic results in Guruswami and Sinop (2011) which used the Lasserre hierarchy to give an approximation scheme for these problems (with runtime depending on the spectrum of the graph). Along the way, we make an observation that simplifies the task of lifting "polynomial constraints" (such as the global balance constraint in balanced separator) to higher levels of the Lasserre hierarchy.

연구 동기 및 목표

• 균형 잡힌 분할 및 균일한 희박한 가장자리 문제에 대해 알려진 근사 알고리즘과 비근사 가능성 결과 사이의 격차를 메우기 위해.
• 가장 강력한 SDP 계층 구조 중 하나인 Lasserre 계층 구조가 이러한 문제들에 대해 상수 요인 근사치를 달성할 수 있는지 조사하기 위해.
• 심지어 Ω(n) 수준의 Lasserre 계층 구조에서도 여전히 어려운 것으로 남는 명시적인 정수성 간극 인스턴스를 구성하기 위해.
• 다항식 제약 조건(예: 전반적인 균형)을 Lasserre 계층 구조의 고차수 수준으로 효과적으로 올리는 것을 단순화하기 위해.
• 최근 알고리즘적 진전에도 불구하고 Lasserre 계층 구조가 이러한 문제들에 대해 PTAS를 제공하지 못할 수 있음을 제시하기 위해.

제안 방법

• 분할에 대한 어려운 케이스를 시뮬레이션하기 위해 확장자 그래프와 구조적 구성요소(LΦ, RΦ, Zr, Dl, Dr)를 사용하는 그래프 인스턴스의 가족을 구성한다.
• 부하의 부분그래프의 확장 성질을 사용하여 컷을 가로질러서의 간선 수를 제한함으로써, 균형 제약 조건이 위반되지 않는 한 희박성이 임계값 이상을 유지함을 보장한다.
• 확률적 추론을 적용하여, 희박성이 임계값 γ 이하인 임의의 컷은 거의 균형 잡혀 있고 Dl′ 및 Dr′을 서로 다른 쪽으로 나누어야 한다는 것을 보여준다.
• Lasserre 계층 구조의 구조를 활용하여 전반적인 균형 및 컷 제약 조건을 고차수 완화로 올리며, 다항식 제약 조건 분석을 단순화한다.
• 연속적인 부등식 체계를 사용하여 후보 컷의 희박성을 바ounds하며, 컷이 균형 잡혀 있고 핵심 구성요소를 분리하지 않는 한 희박성이 γ를 초과함을 보여준다.
• 스펙트럼 성질과 고유값 한계(λr)를 사용하여 정수성 간극을 그래프의 정규화된 라플라시안과 연결함으로써 이전 알고리즘 결과와 연관시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lasserre 계층 구조는 균형 잡힌 분할 및 균일한 희박한 가장자리 문제에 대해 상수 요인 근사치를 달성할 수 있는가?
• RQ2 Ω(n) 수준에서도 Lasserre 계층 구조의 정수성 간극이 여전히 1에서 멀리 떨어져 있는가?
• RQ3 전반적인 균형과 같은 다항식 제약 조건을 Lasserre 계층 구조의 고차수 수준으로 효율적으로 올릴 수 있는가?
• RQ4 강력한 알고리즘 결과가 낮은 수준에서 존재함에도 불구하고, 이러한 문제들에 대해 Lasserre 계층 구조에 초수렴 정수성 간극이 존재하는가?
• RQ5 Sherali-Adams와 같은 더 약한 계층 구조가 실패하는 경우에도 Lasserre 계층 구조는 이러한 문제들에 대해 PTAS를 제공하지 못하는가?

주요 결과

• Lasserre 계층 구조는 심지어 Ω(n) 수준에서도 균형 잡힌 분할 및 균일한 희박한 가장자리 문제에 대해 상수 요인의 정수성 간극을 가진다.
• 정수성 간극은 1에서 멀리 떨어져 있어, 계층 구조가 상수 근사해를 증명할 수 없다는 것을 의미한다.
• 간극 인스턴스는 확장자와 구조적 구성요소를 사용하여, 컷이 균형 잡혀 있고 핵심 부분을 분리하지 않는 한 높은 희박성을 강제한다.
• 분석 결과, 희박성이 임계값 γ 이하인 임의의 컷은 거의 균형 잡혀야 하며 Dl′과 Dr′을 서로 다른 쪽으로 나누어야 한다.
• O(n) 수준의 계층 구조조차도 이 문제들에 대해 (1+ε)-근사치를 달성하지 못함을 보여주는 구성이 이루어졌다.
• 전반적인 균형 제약 조건을 Lasserre 계층 구조의 고차수 수준으로 효과적으로 올리는 단순화된 방법을 제시하여, 정수성 간극 분석을 더욱 청결하게 만들 수 있게 되었다.