[논문 리뷰] Constant scalar curvature equation and the regularity of its weak solution

Weiyong He, Yu Zeng|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 03.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 35인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 Kähler 다양체에서 $L^\infty$ 계량을 가진 경우, 상수 스칼라 곡률 Kähler (CSCK) 방정식의 약한 해의 미세도를 증명한다. 이는 $L^\infty$ Kähler 계량에서 라플라스 연산자의 새로운 $W^{2,2}$ 정규성 결과를 사용한다. 주요 기여는 $K$-에너지의 $C^{1,\bar{1}}$ 최소화자가 부드러운 CSCK 계량임을 증명함으로써, Chen의 추측의 일부를 확인하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we study constant scalar curvature equation (CSCK), a nonlinear fourth order elliptic equation, and its weak solutions on Kähler manifolds. We first define a notion of weak solution of CSCK for an $L^\infty$ Kähler metric. The main result is to show that such a weak solution (with uniform $L^\infty$ bound) is smooth. As an application, this answers in part a conjecture of Chen regarding the regularity of $K$-energy minimizers. The new technical ingredient is a $W^{2, 2}$ regularity result for the Laplacian equation $Δ_g u=f$ on Kähler manifolds, where the metric has only $L^\infty$ coefficients. It is well-known that such a $W^{2, 2}$ regularity ($W^{2, p}$ regularity for any $p>1$) fails in general (except for dimension two) for uniform elliptic equations of the form $a^{ij}\partial^2_{ij}u=f$ for $a^{ij}\in L^\infty$, without certain smallness assumptions on the local oscillation of $a^{ij}$. We observe that the Kähler condition plays an essential role to obtain a $W^{2, 2}$ regularity for elliptic equations with only $L^\infty$ elliptic coefficients on compact manifolds.

연구 동기 및 목표

• 정의하고 $L^\infty$ Kähler 계량에 대해 상수 스칼라 곡률 Kähler (CSCK) 방정식의 약한 해를 연구한다.
• 이러한 약한 해의 정규성을 확립하여, 균일한 $L^\infty$ 유계 조건 하에서 해가 부드럽다는 것을 증명한다.
• Chen의 추측을 다루며, $K$-에너지의 $C^{1,\bar{1}}$ 최소화자가 부드러운 CSCK 계량임을 확인한다.
• $L^\infty$ 계수를 가진 Kähler 다양체에서 라플라스 방정식 $\Delta_g u = f$에 대한 $W^{2,2}$ 정규성 이론을 개발한다. 이는 일반적인 비-Kähler 타입 타원형 방정식에서는 실패한다.
• 정규성 결과를 수정된 $K$-에너지 및 극값 계량으로 확장하여, 대칭성 조건 하에서 최소화자가 부드럽다는 것을 증명한다.

제안 방법

• 이론적 $L^\infty$ Kähler 계량에서 CSCK 방정식에 대한 $\Delta$-약한 해의 개념을 도입한다.
• 콤��� Kähler 다양체에서 계량 $g$가 $L^\infty$ 계수만을 가지는 경우, $\Delta_g u = f$에 대한 $W^{2,2}$ 정규성 결과를 확립한다. Kähler 구조를 활용하여 일반적인 $W^{2,p}$ 추정이 실패하는 것을 극복한다.
• $W^{2,2}$ 정규성을 활용하여 $L^\infty$ 약한 해가 $W^{2,2}$에 속하고, 따라서 호일더 연속임을 보여, 더 높은 정규성을 이끌어낸다.
• $K$-에너지 최소화자에 정규성 이론을 적용하여, 약한 CSCK 방정식을 만족하는 $C^{1,\bar{1}}$ 포텐셜이 부드럽다는 것을 보인다.
• 수정된 $K$-에너지의 경우에 대해 이론을 확장하여, $L^\infty$ 불변 최소화자가 부드러운 극값 계량임을 증명한다.
• 완만한 CSCK 방정식에 대한 사전 추정치를 사용하며, 큰 상수 $A$를 사용한 최대 원리의 응용을 통해 체적 형식의 균일한 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계량이 오직 $L^\infty$일 경우, 상수 스칼라 곡률 Kähler 방정식의 약한 해가 부드럽다는 것을 증명할 수 있는가?
• RQ2 Chen의 추측에 따르면, $K$-에너지의 $C^{1,\bar{1}}$ 클래스 최소화자가 부드러운 대표를 가질 수 있는가?
• RQ3 일반 타원형 이론에서 실패하는 바에 비해, $L^\infty$ Kähler 계량에서 라플라스 연산자의 $W^{2,2}$ 정규성이 확립될 수 있는가?
• RQ4 $W^{2,2}$ 정규성 결과는 Kähler 조건에 의존하는가? 그리고 실수 타원형 이론과 어떻게 다를까?
• RQ5 수정된 $K$-에너지를 통해 정규성 결과를 극값 계량으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 균일하게 유계된 $L^\infty$ Kähler 계량에서 $\Delta$-약한 해로 정의된 CSCK 방정식의 해는 부드럽다는 것이 입증된다.
• 콤팩트 다양체에서 $L^\infty$ Kähler 계량에 대해 $\Delta_g u = f$의 $W^{2,2}$ 정규성이 확립되며, 이는 일반적인 비-Kähler 타원형 방정식에서는 실패한다.
• $K$-에너지의 $C^{1,\bar{1}}$ 클래스 최소화자가 부드러운 CSCK 계량임을 증명하여, Chen의 추측의 일부를 확인한다.
• 정규성 결과는 수정된 $K$-에너지로 확장되며, $L^\infty$ 불변 최소화자가 부드러운 극값 계량임을 증명한다.
• 큰 상수 $A$를 사용한 최대 원리의 응용을 통해, 완만한 CSCK 방정식에 대한 사전 추정치를 확립하여 체적 형식의 균일한 하한을 도출한다.
• $W^{2,2}$ 정규성과 해의 호일더 연속성은 고차 정규성을 이끌어내며, 최종적으로 계량의 완전한 부드러움을 이끈다.