[논문 리뷰] Constant-sized robust self-tests for states and measurements of unbounded dimension

Laura Mančinska, Jitendra Prakash외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 02.

Quantum Information and Cryptography인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 차수에 관계없이 무한대의 차원을 가진 양자 상태와 측정의 강건한 자기검증을 위한 새로운 대수적 프레임워크를 제시한다. 상수 크기의 상관관계를 사용한다. 저자들은 Gowers–Hatami 정리를 C*-대수로 일반화함으로써, 항등원의 스칼라 배수로 합이 되는 사영원소를 기반으로 하는 특정 양자 전략이 임의의 홀수 차원에서 최대 얽힘 상태와 고계수 프로젝션 측정을 강건하게 자기검증함을 증명한다. 이는 차수에 제한이 없는 측정 랭크와 홀수 차원 최대 얽힘 상태에 대한 첫 번째 상수 크기 자기검증이다.

ABSTRACT

We consider correlations, $p_{n,x}$, arising from measuring a maximally entangled state using $n$ measurements with two outcomes each, constructed from $n$ projections that add up to $xI$. We show that the correlations $p_{n,x}$ robustly self-test the underlying states and measurements. To achieve this, we lift the group-theoretic Gowers-Hatami based approach for proving robust self-tests to a more natural algebraic framework. A key step is to obtain an analogue of the Gowers-Hatami theorem allowing to perturb an "approximate" representation of the relevant algebra to an exact one. For $n=4$, the correlations $p_{n,x}$ self-test the maximally entangled state of every odd dimension as well as 2-outcome projective measurements of arbitrarily high rank. The only other family of constant-sized self-tests for strategies of unbounded dimension is due to Fu (QIP 2020) who presents such self-tests for an infinite family of maximally entangled states with even local dimension. Therefore, we are the first to exhibit a constant-sized self-test for measurements of unbounded dimension as well as all maximally entangled states with odd local dimension.

연구 동기 및 목표

• 군 이론적 제약을 피하고 C*-대수적 구조를 사용하는 일반적인 강건한 자기검증 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기존 자기검증 방법의 한계를 해결하기 위해, 즉각적인 기법이나 군 표현에 의존하는 방법은 항상 적용 가능하지 않기 때문이다.
• 항등원의 스칼라 배수로 합이 되는 사영원소를 포함하는 양자 전략에 대한 강건한 자기검증을 수립하여, 무한대 차원 시스템의 인증을 가능하게 하기 위해.
• 이러한 상관관계가 임의의 홀수 차원에서 최대 얽힘 상태와 차수에 제한이 없는 랭크를 가진 2-결과 프로젝션 측정을 모두 강건하게 자기검증할 수 있음을 보여주기 위해.
• 이러한 자기검증 상관관계를 생성하는 구축 가능한 방법을 제공하고, 연산자 대수학의 섭동 이론을 통해 그 강건성을 증명하기 위해.

제안 방법

• 군 이론적 Gowers–Hatami 접근법을 군 표현 대신 비아벨 대수의 표현을 사용하는 C*-대수적 프레임워크로 이행하기 위해.
• d×d 힐베르트 공간 위의 n개 사영원소가 xI_d로 합해지는 양자 상관관계 p_{n,x}를 정의하며, x는 국소 유니터리 변환에 대해 유일하게 결정되는 사영원소를 보장하도록 선택된다.
• 관련 대수의 ε-근사 표현이 정확한 표현으로 섭동될 수 있음을 보여주는 Gowers–Hatami 정리의 대수적 동반판을 증명하기 위해.
• 사영원소가 생성하는 대수의 구조를 이용해 측정 연산자와 상태 벡터의 표준형을 유도하기 위해.
• n=4에 대해 구체적인 예를 제시하며, 8/5 I_5로 합해지는 투영 P̃₁,…,P̃₄가 자기검증 상관관계를 유도함을 보여주기 위해.
• 최종 투영 행렬 P̃_{2,v}를 도출하기 위해 유니터리 변환과 영공간 분해의 시퀀스를 적용하여, 이들이 8/5 I_5로 합해지고 필요한 대수적 관계를 만족함을 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템의 차원에 관계없이 상수 크기의 상관관계만을 사용하여 무한대 차원의 양자 상태와 측정을 강건하게 자기검증할 수 있는가?
• RQ2 Gowers–Hatami 정리를 군 표현에서 양자 상관관계로부터 유도된 C*-대수의 표현으로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 항등원의 스칼라 배수로 합해지는 사영원소로부터 유도된 상관관계가 홀수 차원 최대 얽힘 상태와 고랭크 프로젝션 측정을 모두 강건하게 자기검증할 수 있는가?
• RQ4 군 대칭성을 기반으로 하지 않고도 자기검증을 달성할 수 있는가? 이는 군 기반 외의 양자 게임에의 적용 가능성을 의미한다.
• RQ5 항등원의 스칼라 배수로 합해지는 사영원소의 어떤 명시적 구성이 무한대 차원 시스템에 대한 자기검증 상관관계를 유도하는가?

주요 결과

• 논문은 차수에 제한이 없는 측정 랭크에 대한 첫 상수 크기의 강건한 자기검증을 확립한다. 이는 4개의 사영원소로 구성되며, 8/5 I_5로 합해진다.
• 8/5에 해당하는 p_{4,x} 상관관계가 모든 홀수 국소 차원에서 최대 얽힘 상태를 강건하게 자기검증함을 증명한다.
• 저자들은 8/5 I_5로 합해지는 명시적인 5×5 사영행렬 P̃_{2,1},…,P̃_{2,4}를 구성하여, 자기검증 상관관계의 기초를 마련한다.
• Gowers–Hatami 정리를 C*-대수로 확장하는 일반적인 대수적 프레임워크를 제공하며, 군 기반 접근법을 초월한 강건한 자기검증을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 임의로 높은 랭크를 가진 2-결과 프로젝션 측정의 자기검증을 가능하게 하며, 이는 이전의 상수 크기 자기검증에서 달성되지 못한 특성이다.
• 결과는 군 대칭성이 없는 시스템을 포함한 더 넓은 범주의 양자 시스템으로 장치 독립적 인증의 범위를 확장한다.