[논문 리뷰] Constrained Non-Monotone Submodular Maximization: Offline and Secretary Algorithms

Anupam Gupta, Aaron Roth외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 07.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 제약 조건이 있는 비단조화 부분합성 최대화를 위한 단순하고 탐욕적인 알고리즘을 제시하며, p-독립 시스템에서는 다항시간 O(p)-근사값을, 배낭 제약 조건 하에서는 상수 요소 근사값을 달성한다. 이 방법은 단조 부분합성 알고리즘을 비단조화 설정으로 확장하고, 이를 사전 설정되지 않은 순서로 도착하는 요소에 대한 온라인 서번트 설정으로 확장하여, 균일 및 파artition 매트로이드에 대해 O(1)-근사값을, 일반적인 랭크-k 매트로이드에 대해 O(log k)-근사값을 도출한다.

ABSTRACT

Constrained submodular maximization problems have long been studied, with near-optimal results known under a variety of constraints when the submodular function is monotone. The case of non-monotone submodular maximization is less understood: the first approximation algorithms even for the unconstrainted setting were given by Feige et al. (FOCS '07). More recently, Lee et al. (STOC '09, APPROX '09) show how to approximately maximize non-monotone submodular functions when the constraints are given by the intersection of p matroid constraints; their algorithm is based on local-search procedures that consider p-swaps, and hence the running time may be n^Omega(p), implying their algorithm is polynomial-time only for constantly many matroids. In this paper, we give algorithms that work for p-independence systems (which generalize constraints given by the intersection of p matroids), where the running time is poly(n,p). Our algorithm essentially reduces the non-monotone maximization problem to multiple runs of the greedy algorithm previously used in the monotone case. Our idea of using existing algorithms for monotone functions to solve the non-monotone case also works for maximizing a submodular function with respect to a knapsack constraint: we get a simple greedy-based constant-factor approximation for this problem. With these simpler algorithms, we are able to adapt our approach to constrained non-monotone submodular maximization to the (online) secretary setting, where elements arrive one at a time in random order, and the algorithm must make irrevocable decisions about whether or not to select each element as it arrives. We give constant approximations in this secretary setting when the algorithm is constrained subject to a uniform matroid or a partition matroid, and give an O(log k) approximation when it is constrained by a general matroid of rank k.

연구 동기 및 목표

• 단조 함수의 경우를 초월하여 제약 조건이 있는 비단조화 부분합성 최대화를 위한 효율적이고 다항시간 알고리즘 개발.
• 기존의 단조 부분합성 함수에 대한 탐욕 알고리즘들을 비단조화 설정으로 확장하고, 증명 가능한 근사 보장을 제공.
• 오프라인 알고리즘을 온라인 서번트 설정으로 적응시켜, 요소가 무작위 순서로 도착하고 결정이 뒤돌릴 수 없는 상황을 고려.
• 서번트 모델에서 비단조화 부분합성 최대화에 대해 처음으로 상수 요소 근사 알고리즘 제공.
• 이전의 국소 탐색 방법 대비 실행 시간에 기하급수적 향상을 얻기 위해 근사 보장의 작은 상수 요소를 포기함으로써 런타임 효율성 향상.

제안 방법

• 마진 기여가 임계값 τ를 초과하고 독립성이 유지될 경우에만 요소를 추가하는 임계값 기반 탐욕 알고리즘을 사용하며, 두 개의 집합 S1과 S2를 유지한다.
• 무작위로 임계값을 선택하는 전략을 적용하여, τ를 {w1, w1/2, ..., w1/2k}에서 균일하게 샘플링하며, 여기서 w1은 가장 가치가 높은 요소의 값이다.
• 서번트 설정에서 이중 샘플링 기법을 적용: 반의 요소를 샘플링하여 가장 가치가 높은 요소를 추정하고, 그 무게를 기반으로 무작위 임계값을 설정한다.
• 비단조화 최대화 문제를 단조 함수의 표준 탐욕 알고리즘을 여러 번 실행하는 방식으로 환원하며, 부분합성과 독립성 제약 조건을 활용한다.
• 유니온 바운드와 부분합성 성질을 이용해 낮은 마진 기여를 가진 요소를 기각했을 때의 손실를 제한하여, 기대값이 최적값의 상수 요소 내에 있도록 보장한다.
• 다양한 임계값 수준에 걸쳐 무작위 라운딩 전략을 구현하여 서번트 모델에서 로그 수준의 근사값을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단조 부분합성 최대화를 위한 탐욕 알고리즘이 제약 조건 하에서 비단조화 부분합성 함수로 효과적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 다항시간 알고리즘을 사용할 때, p-독립 시스템 하에서 비단조화 부분합성 최대화의 근사 비율은 얼마인가?
• RQ3 카디널리티 및 파artition 매트로이드 제약 조건 하에서 서번트 설정에서 비단조화 부분합성 최대화에 대해 상수 요소 근사가 달성될 수 있는가?
• RQ4 서번트 모델에서 일반 매트로이드 제약 조건 하에서 비단조화 부분합성 최대화의 최고 근사 비율은 얼마인가?
• RQ5 이전의 국소 탐색 방법 대비 비단조화 부분합성 최대화에서 근사 비율과 런타임 간의 트레이드오프를 어떻게 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 n과 p에 대해 다항시간이 걸리는 알고리즘으로 p-독립 시스템 하에서 비단조화 부분합성 최대화에 대해 O(p)-근사값을 달성하며, 이는 이전의 지수시간 국소 탐색 방법보다 향상된 결과이다.
• 탐욕 기반 접근법을 통해 배낭 제약 조건이 있는 비단조화 부분합성 최대화에 대해 상수 요소 근사값을 달성한다.
• 균일 매트로이드 및 파artition 매트로이드 제약 조건 하에서 서번트 설정에서 O(1)-근사값을 달성하며, 이는 비단조화 목적이 처음으로 이러한 결과를 도출한 것이다.
• 일반적인 랭크-k 매트로이드 제약 조건 하에서 서번트 모델에서 O(log k)-근사값을 달성하며, 이는 선형 매트로이드 서번트 문제에 알려진 상한과 일치한다.
• 임계값을 기하급수적 수열에서 선택하고 두 개의 독립 집합을 사용함으로써, 알고리즘이 최적 해에 대해 상수 기대값을 보장함을 분석에서 밝혀냈다.
• 무작위로 여러 임계값 수준에 걸쳐 알고리즘을 적용함으로써, 서번트 모델에서 기대 근사 비율이 Ω(OPT / (log k)) 수준이 됨을 확인하였다.