[논문 리뷰] Constrained Risk Budgeting Portfolios: Theory, Algorithms, Applications & Puzzles

Jean-Charles Richard, Thierry Roncalli|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 포트폴리오 가중치 제약 조건이 존재하는 상황에서도 정의된 예산에 따라 위험 기여도를 할당하는 제약 조건이 있는 리스크 버젯팅 포트폴리오를 구축하기 위한 이론적으로 타당하고 계산적으로 효율적인 프레임워크를 개발한다. 비선형 제약 조건이 존재하는 문제를 해결하기 위해 로그 바리에이션 함수를 사용한 새로운 최적화 설정과, 순환 좌표 강내법, ADMM, 딕스트라 알고리즘과 같은 고급 수치 알고리즘을 제안하며, 일관된 위험 측정의 성질과 이 성질이 위반될 경우 발생하는 '스케일링 퍼즐'의 핵심 역할을 부각시킨다.

ABSTRACT

This article develops the theory of risk budgeting portfolios, when we would like to impose weight constraints. It appears that the mathematical problem is more complex than the traditional risk budgeting problem. The formulation of the optimization program is particularly critical in order to determine the right risk budgeting portfolio. We also show that numerical solutions can be found using methods that are used in large-scale machine learning problems. Indeed, we develop an algorithm that mixes the method of cyclical coordinate descent (CCD), alternating direction method of multipliers (ADMM), proximal operators and Dykstra's algorithm. This theoretical body is then applied to some investment problems. In particular, we show how to dynamically control the turnover of a risk parity portfolio and how to build smart beta portfolios based on the ERC approach by improving the liquidity of the portfolio or reducing the small cap bias. Finally, we highlight the importance of the homogeneity property of risk measures and discuss the related scaling puzzle.

연구 동기 및 목표

• 제약 조건이 존재할 경우 더 이상 정확히 달성되지 않는 리스크 예산을 고려한 제약 조건이 있는 리스크 버젯팅 포트폴리오의 수학적 구조를 체계화하는 것.
• 대규모 포트폴리오 최적화를 위해 CCD, ADMM, 프록시 연산자, 딕스트라 알고리즘을 통합한 수치적으로 안정적이고 확장 가능한 알고리즘 프레임워크를 개발하는 것.
• 일관된 위험 측정의 성질이 위반될 경우 발생하는 '스케일링 호환성 퍼즐'을 해결하는 것.
• 회전율 제어, 유동성 향상, 리스크 기반 포트폴리오에서의 소형주식 편향 감소와 같은 실용적 응용을 보여주는 것.
• 제약 조건 하에서 ERC(등가 위험 기여도) 접근법을 확장할 때 발생하는 이론적 및 수치적 과제를 명확히 하고, 유일성과 안정성을 보장하는 것.

제안 방법

• 제약 조건이 있는 리스크 버젯팅 문제를 로그 바리에이션 최적화로 수식화: 위험 측정 R(x)를 최소화하고, ∑bi ln xi ≥ κ 및 x ≥ 0 조건을 만족한다.
• 부등식 제약 조건을 처리하기 위해 라그랑주 승수법과 바리에이션 함수를 결합하여 리스크 버젯팅 조건을 최적화 경로에 통합한다.
• 순환 좌표 강내법(CCD)을 사용하여 한 번에 한 변수씩 반복적으로 최적화하여 수렴성과 확장성을 향상시킨다.
• 교차 방향 최적화 방법(ADMM)을 통합하여 문제를 더 쉽게 해결할 수 있는 하위 문제들로 분해하며, 특히 복잡한 제약 조건 하에서도 유용하다.
• 프록시 연산자와 딕스트라 알고리즘을 적용하여 비연속적이거나 비볼록인 제약 조건을 처리하며, 상자형 또는 지점 기반 제약 조건이 존재할 경우에 특히 효과적이다.
• 이분법을 통해 라그랑주 승수 λ를 校정하여 타당성과 라그랑주 함수 최소화를 확보하고, 잠재적인 국소 최소값들 중 최적의 해를 선택한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 조건이 존재하는 포트폴리오에서, 사전 리스크 예산이 사후 위험 기여도와 일치하지 않기 때문에 리스크 버젯팅을 어떻게 의미 있게 확장할 수 있는가?
• RQ2 유일성과 수치적 안정성을 보장하는 제약 조건이 있는 리스크 버젯팅 문제의 올바른 수학적 수식은 무엇인가?
• RQ3 현대 최적화 기법을 활용하여 복잡한 제약 조건이 존재하는 대규모 비볼록 리스크 버젯팅 문제를 어떻게 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 왜 제약 조건이 있는 리스크 버젯팅 문제의 수치적 해는 초기화에 의존하며, 국소 최소값으로 수렴하는 원인은 무엇인가?
• RQ5 위험 측정의 동차성 성질이 제약 조건과의 호환성에 미치는 영향은 무엇이며, 이는 어떻게 '스케일링 퍼즐'을 초래하는가?

주요 결과

• 리스크 기여도와 예산 간의 제곱합을 최소화하는 표준 수식은 비정상적이고 비볼록적이며, 이로 인해 수치적 불안정성과 유일하지 않은 해가 발생한다.
• 정확한 수식은 리스크 버젯팅 제약 조건을 최적화 문제에 통합하기 위해 로그 바리에이션 함수를 사용하며, 이는 고유하고 안정적인 해를 보장한다.
• CCD, ADMM, 프록시 연산자, 딕스트라 알고리즘을 통합한 제안된 알고리즘은 복잡한 제약 조건이 존재하는 대규모 포트폴리오에 대해서도 높은 확장성과 강건성을 달성한다.
• 제약 조건이 위험 측정의 동차성 성질과 호환되지 않을 경우, 다수의 국소 최소값이 존재할 수 있으며, 이 경우 라그랑주 함수 값이 최소가 되는 해를 선택함으로써 최적의 해를 도출한다.
• 수치 실험 결과, 표 12의 첫 번째와 세 번째 포트폴리오가 최적의 해를 이루었으며, 각각 최저 변동성(5.20% 및 5.98%)과 라그랑주 함수 값(13.29% 및 10.68%)을 기록했다.
• 제약 조건이 없는 자산에 대해서는 ERC 성질이 유지되지만, 제약 조건이 있는 자산은 등가 위험 기여도에서 벗어나며, 리스크 기반 투자에서 제약 조건 설계의 신중함이 필요함을 시사한다.