[논문 리뷰] Constrained systems and the Clairaut equation

Steven Duplij|ArXiv.org|2008. 04. 17.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 헤시안 행렬이 0인 비정칙 라그랑주 계에서 제약 조건이 있는 해밀턴 체계를 다루기 위해 일반화된 레지온드르-클로르뢰 변환을 제안한다. 이는 해밀턴ian 구성 문제를 클로르뢰 편미분방정식의 해로 간주함으로써 이루어진다. 이 방법은 라그랑주 승수 없이도 디랙의 주요 제약 조건을 자연스럽게 생성하는 인벌루트 변환을 제공하며, 클로르뢰 방정식의 혼합 포화-일般 해를 통해 정칙 및 특이 케이스를 통합한다.

ABSTRACT

An extension of the Legendre transform to non-convex functions with vanishing Hessian as a mix of envelope and general solutions of the Clairaut equation is proposed. Applying this to systems with constraints, the procedure of finding a Hamiltonian for a degenerate Lagrangian is just that of solving a corresponding Clairaut equation with a subsequent application of the proposed Legendre-Clairaut transformation. In this way the unconstrained version of Hamiltonian equations is obtained. The Legendre-Clairaut transformation presented is involutive. We demonstrate the origin of the Dirac primary constraints, along with their explicit form, and this is done without using the Lagrange multiplier method.

연구 동기 및 목표

• 표준 레지온드르 변환 대신 클로르뢰 방정식을 사용하여 헤시안 행렬이 0인 비정칙 라그랑주에 대한 해밀턴 형식을 재구성하는 것.
• 라그랑주 승수를 사용하지 않고 클로르뢰 방정식의 구조에서 디랙의 주요 제약 조건을 내재적으로 도출하는 것.
• 클로르뢰 방정식의 혼합 해(포화 해는 정칙 변수에서, 일반 해는 비정칙 변수에서)를 통해 레지온드르 변환을 비볼록 및 특이 케이스로 확장하는 것.
• 제약 조건이 있는 체계에서 라그랑주 및 해밀턴 형식 간의 인벌루트 변환을 수립하여 일관성과 가역성을 확보하는 것.
• 표준 레지온드르 변환은 포화 해에 해당하고 총 해밀턴ian은 클로르뢰 방정식의 혼합 해로 간주됨으로써 정칙 및 특이 체계를 통합하는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 해밀턴ian이 정칙 변수에서 포화 해로 나타나는 바탕으로, 레지온드르 변환을 클로르뢰 방정식의 해로 재구성하는 것.
• 클로르뢰 방정식의 혼합 해를 도입: 정칙 운동량에서는 포화 해, 비정칙(해결되지 않은) 운동량에서는 일반 해를 사용하며, 이는 주요 제약 조건에 대응한다.
• 헤시안이 0이 되는 경우에도 적용 가능한 일반화된 레지온드르-클로르뢰 변환을 라그랑주 및 해밀턴 함수 간의 인벌루트 사상으로 정의하는 것.
• 운동량 사상의 역을 구하기 위해 조건 $ \mathbf{v}_1 = \frac{\partial \mathcal{H}^{Cl}}{\partial \mathbf{p}_1} $ 를 사용하여 비제약 라그랑주를 재구성하는 것.
• 혼합 해밀턴ian을 $ \mathcal{H}^{Cl}_{(\mathbf{q})\text{mixed}} = \mathcal{H}^{(0)}_{(\mathbf{q})}(\mathbf{p}_1) + \mathbf{C}_{2(\mathbf{q})} \cdot \boldsymbol{\Phi}_{(\mathbf{q})}(\mathbf{p}) $ 로 구성하는 것. 여기서 $ \mathcal{H}^{(0)} $ 는 비정칙 변수에 대해 독립적이다.
• 운동량 사상이 상호 역으로 존재할 경우, 두 번의 레지온드르-클로르뢰 변환을 적용하여 원래의 라그랑주를 복원함으로써 인벌루트성을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤시안 행렬이 0이 되는 비볼록 및 비정칙 라그랑주를 다룰 수 있도록 표준 레지온드르 변환을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 라그랑주 승수를 도입하지 않고도 클로르뢰 방정식의 구조에서 디랙의 주요 제약 조건이 자연스럽게 유도될 수 있는가?
• RQ3 클로르뢰 방정식의 혼합 해(포화 해 + 일반 해)는 제약 조건이 있는 해밀턴 체계를 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 제안된 레지온드르-클로르뢰 변환은 원래의 라그랑주 체계의 역학을 어떻게 유지하는가?
• RQ5 일관된 이중성과 라그랑주 및 해밀턴 형식 간의 일관성을 보장하기 위해 일반화된 레지온드르-클로르뢰 변환이 인벌루트 성질을 갖는가?

주요 결과

• 일반화된 레지온드르-클로르뢰 변환은 헤시안 행렬이 0이 되는 비정칙 라그랑주에 대해서도 클로르뢰 방정식을 풀어 해밀턴ian을 일관되게 구성할 수 있는 방법을 제공한다.
• 디랙의 주요 제약 조건은 라그랑주 승수를 도입하지 않고도 클로르뢰 방정식의 일반 해에서 임의의 상수로서 자연스럽게 유도된다.
• 클로르뢰 방정식의 혼합 해—정칙 변수에서는 포화 해, 비정칙 변수에서는 일반 해—는 제약 조건이 있는 시스템의 총 해밀턴ian을 유도한다.
• 제안된 레지온드르-클로르뢰 변환은 인벌루트 성질을 갖는다: 운동량 사상이 상호 역으로 존재할 경우, 두 번의 변환을 적용하면 원래의 라그랑주를 복원한다.
• 결과적으로 유도된 해밀턴 방정식은 제약 조건을 명시적으로 도입하지 않은 경우에도 원래의 라그랑주 방정식과 동치이다.
• 이 방법은 표준 레지온드르 변환은 포화 해에 해당하고 총 해밀턴ian은 혼합 해에 해당함으로써 정칙 및 특이 케이스를 하나의 프레임워크로 통합한다.