[논문 리뷰] Constraint Coupled Distributed Optimization: a Relaxation and Duality Approach

Ivano Notarnicola, Giuseppe Notarstefano|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 25.

Metal-Organic Frameworks: Synthesis and Applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 제약 조건이 상호 연결된 볼록 최적화 문제를 위한 완전히 분산된 새로운 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 이론적 이론과 이중성 이론을 활용하여 평균화 없이 각 에이전트가 국소 최적 해를 계산할 수 있도록 한다. 단순한 국소 최적화와 선형 업데이트를 통해 점점 더 근접하는 원래의 해에 수렴하며, 이는 이론적 보장과 마이크로그리드 MPC 사례 연구를 통해 검증된다.

ABSTRACT

In this paper we consider a general, challenging distributed optimization set-up arising in several important network control applications. Agents of a network want to minimize the sum of local cost functions, each one depending on a local variable, subject to local and coupling constraints, with the latter involving all the decision variables. We propose a novel fully distributed algorithm based on a relaxation of the primal problem and an elegant exploration of duality theory. Despite its complex derivation, based on several duality steps, the distributed algorithm has a very simple and intuitive structure. That is, each node finds a primal-dual optimal solution pair of a local, relaxed version of the original problem, and then updates suitable auxiliary local variables. We prove that agents asymptotically compute their portion of an optimal (feasible) solution of the original problem. This primal recovery property is obtained without any averaging mechanism typically used in dual decomposition methods. To corroborate the theoretical results, we show how the methodology applies to an instance of a Distributed Model Predictive Control scheme in a microgrid control scenario.

연구 동기 및 목표

• 모든 에이전트의 변수를 포함하는 결합 제약 조건이 있는 제약 조건이 상호 연결된 볼록 최적화 문제를 분산적으로 해결하는 데 도전하는 것.
• 중앙 집중적 조율이나 평균화 메커니즘에 의존하지 않고 각 에이전트가 전역 최적 해의 부분을 계산할 수 있도록 완전히 분산된 알고리즘을 개발하는 것.
• 새로운 이론적 이론과 이중성 프레임워크를 통해 최적 비용으로의 수렴과 원래 해의 타당성을 보장하는 것.
• 협동 분산 모델 예측 제어(MPC)를 포함한 실제 응용 분야에서 이 방법을 검증하는 것 — 마이크로그리드에서의 사례.

제안 방법

• 알고리즘은 원래 문제의 이론적 이론에 기반하며, 기존의 결합된 문제를 이중성에 의해 분산적으로 해결할 수 있는 형태로 변환한다.
• 각 에이전트는 자신의 비용과 국소 제약 조건을 사용하여 국소적이고 이론화된 문제를 해결하여 원-이중 최적 쌍을 찾는다.
• 에이전트들은 다른 에이전트들이 결합 제약 조건에 기여하는 바를 추적할 수 있도록, 일관성 유사 선형 업데이트를 통해 보조 변수(이중 곱수)를 업데이트한다.
• 이중 변수가 수렴하여 원래 해를 직접 복원할 수 있는 해에 도달하도록, 이중 단계의 시퀀스를 활용한다.
• 이론적 이론 전략은 일시적인 단계 동안에도 양의 페널티 매개수를 가질 때조차도 결합 제약 조건의 타당성을 달성할 수 있도록 한다.
• 원래 해 복원을 이중 업데이트 과정에 직접 통합함으로써 표준 평균화 메커니즘을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중앙 집중적 조율이나 평균화 단계 없이 완전히 분산된 알고리즘이 제약 조건이 상호 연결된 볼록 최적화 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 이중성과 이론적 이론을 어떻게 조합하여 분산 환경에서 이중 수렴과 원래 해의 타당성을 보장할 수 있는가?
• RQ3 보조 변수는 각 에이전트 간에 결합 제약 조건 기여도를 분산적으로 추적하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 제안된 방법은 전역 최적 비용으로 수렴하면서 타당한 원래 해를 복원할 수 있는가?
• RQ5 이 알고리즘은 마이크로그리드에서의 분산 MPC와 같은 실제 협동 제어 시나리오에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 알고리즘은 페널티 매개수의 합을 점점 0으로 수렴시키며, 이는 최적의 이중 해에 수렴함을 나타낸다.
• 결합 제약 조건의 최대 위반도 시간이 지남에 따라 감소하며, 양의 페널티 매개수가 존재하는 동안에도 일시적인 단계에서 타당성이 확립된다.
• 분산된 이중 변수들은 다른 에이전트들이 결합 제약 조건에 기여하는 총 기여도를 추적하여 정확한 제약 조건 이행을 보장한다.
• 비용 오차는 서브그래디언트 기반 방법의 예상과 같이 하향 수렴하며, 정규화된 비용 차이가 반복 횟수에 따라 감소한다.
• 모든 에이전트는 어떤 평균화나 원래 변수에 대한 일치화 없이도 전역 최적 해의 부분을 성공적으로 계산한다.
• T=12개 시간 슬롯을 가진 10단위 마이크로그리드에서의 수치 결과는 이 방법의 타당성과 수렴성을 현실적인 협동 MPC 환경에서 확인한다.