[논문 리뷰] Constraint qualifications and optimality conditions in bilevel optimization

Jane J. Ye|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 09.

Optimization and Variational Analysis인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복수의 하위 문제를 가진 이중 최적화 문제에 대해 검증 가능한 제약 조건과 최적성 조건을 개발한다. 주로 볼록 및 비볼록 하위 문제를 다룬다. 복합 프로그램에 대해 유연한 일정한 양의 선형 의존성(RCPLD) 조건을 도입하고, 일반화된 방정식을 통한 날카운 필수 최적성 조건을 제시하여 기존의 보조 제약 조건이 포함된 수학적 프로그램(MPCC)을 개선한다. 주요 기여는 값 함수 상한 추정에 기반한 검증 가능한 M-정류성 조건이다.

ABSTRACT

In this paper we study constraint qualifications and optimality conditions for bilevel programming problems. We strive to derive checkable constraint qualifications in terms of problem data and applicable optimality conditions. For the bilevel program with convex lower level program we discuss drawbacks of reformulating a bilevel programming problem by the mathematical program with complementarity constraints and present a new sharp necessary optimality condition for the reformulation by the mathematical program with a generalized equation constraint. For the bilevel program with a nonconvex lower level program we propose a relaxed constant positive linear dependence (RCPLD) condition for the combined program.

연구 동기 및 목표

• 하위 문제의 비볼록성 또는 다중 승수 존재 시 보조 제약 조건이 포함된 수학적 프로그램(MPCC)으로의 재구성 방법의 한계를 해결하기 위해.
• 비볼록 하위 문제를 가진 이중 프로그램에 대해 검증 가능한 제약 조건, 특히 유연한 일정한 양의 선형 의존성(RCPLD) 조건을 개발하기 위해.
• 일반화된 방정식 제약 조건이 포함된 수학적 프로그램으로 재구성한 이중 프로그램에 대해 날카운 필수 최적성 조건을 수립하기 위해.
• 값 함수의 상한 추정에 기반한 새로운 M-정류성 조건을 제공하여 기존 조건보다 더 약하고 더 널리 적용 가능한 조건을 확보하기 위해.
• 값 함수의 리프시츠 연속성 조건 하에서 최적성 조건이 유효함을 보장하고 선형화된 원뿔 및 정규 원뿔 이론을 통해 그 타당성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 하위 문제의 KKT 조건을 활용하여 이중 프로그램을 일반화된 방정식 제약 조건이 포함된 수학적 프로그램으로 재구성한다.
• 복합 프로그램에 대해 하위 문제 라그랑주 함수의 기울기들을 포함하는 자코비안 행렬의 질량을 기반으로 한 유연한 일정한 양의 선형 의존성(RCPLD) 조건을 도입한다.
• 값 함수 접근을 적용하여 집합 $W(\bar{x})$를 사용해 값 함수의 제한 부분미분을 상한 추정함으로써 M-정류성 조건을 유도한다.
• 재구성된 문제의 타당 영역의 접선 원뿔을 정의하기 위해 MPEC 선형화 원뿔 ${\cal L}^{MPEC}$을 사용한다.
• 프레셰 및 모르두코비치 정규 원뿔을 포함한 변분해석 도구를 활용하여 정류성과 제약 조건의 특성을 기술한다.
• 해결점에서 문제의 약한 캄니스를 확보하여 승수의 존재와 최적성 조건의 타당성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 하위 문제를 가진 이중 프로그램에 대해 검증 가능한 제약 조건를 도출할 수 있는가?
• RQ2 다중 승수가 존재할 경우 국소 최적성에서의 비등가성을 피하기 위해 고전적 MPCC 재구성 방식을 어떻게 개선할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 방정식 제약 조건이 포함된 수학적 프로그램으로 재구성한 이중 프로그램에 대해 날카운 필수 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ4 값 함수의 상한 추정에 기반한 M-정류성 조건은 어떤 조건 하에서 유효한가?
• RQ5 RCPLD 조건은 이중 최적화에서 해의 존재성과 정류성과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 행렬 $J^{*}$의 질량이 $m+n+r+s-|I_{u}|$와 같을 경우 RCPLD 조건이 확인되며, 이는 값 함수 기반 M-정류성 조건의 타당성을 보장한다.
• 정확한 값 함수 기반 조건보다 값 함수의 상한 추정 기반 M-정류성 조건이 더 약하여 더 넓은 범위로 적용 가능하다.
• 최적성 조건의 확인 과정에서 값 함수 제약 조건 $f(x,y)-V(x)\leq 0$가 필요 없어지며, 이는 재구성 과정을 단순화한다.
• 값 함수가 $\bar{x}$에서 리프시츠 연속일 경우 RCPLD 조건이 성립하고, M-정류성 조건은 국소 해에 대해 필수적이다.
• MPEC 선형화 원뿔 ${\cal L}^{MPEC}$은 재구성된 문제의 타당 영역의 접선 원뿔을 정의하는 데 사용되어 정류성 조건 유도에 기여한다.
• 해결점에서의 문제의 약한 캄니스와 함께 $W(\bar{x})$의 컴팩턴스 조건이 결합되면, 해가 상한 추정 기반 M-정류성 조건을 만족함을 보장한다.