[논문 리뷰] Constraints and gauge transformations: Dirac's theorem is not always valid

Julian Barbour, Brendan Foster|ArXiv.org|2008. 08. 08.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 6인용 수 64

한 줄 요약

이 논문은 표준 양자 중력 이론의 기초 가정인 '해밀토니안 제약 조건이 단지 게이지 변환을 생성할 뿐 물리적 변화를 일으키지 않는다'는 것을 도전한다. 재매개변수화 불변 시스템, 예를 들어 자코비의 원리와 같은 사례를 분석함으로써, 이 믿음의 기초가 되는 디라크의 정리가 절대적 시간을 가정하지 않을 경우 성립하지 않음을 보여주며, 해밀토니안 제약 조건이 진정한 물리적 진화를 유도할 수 있음을 입증한다.

ABSTRACT

A standard tenet of canonical quantum gravity is that evolution generated by a Hamiltonian constraint is just a gauge transformation on the phase space and therefore does not change the physical state. The basis for this belief is a theorem of Dirac that identifies primary first-class constraints as generators of physically irrelevant motions. We point out that certain assumptions on which Dirac based his argument do not hold for reparametrization invariant systems, and show that the primary Hamiltonian constraint of these systems does generate physical motion. We show explicitly how the argument fails for systems described by Jacobi's principle, which has a structure closely resembling that of general relativity. We defer discussion of general relativity and the implications for quantum gravity to a later paper.

연구 동기 및 목표

• 표준 양자 중력 이론에서 널리 퍼져 있는 해밀토니안 제약 조건이 단지 게이지 변환만 생성한다는 믿음을 도전하기 위해.
• 해밀토니안 진동의 시간 매개변수로 절대적 시간을 가정하는 바탕이 되는 디라크 원래의 추론에서의 결함을 규명하기 위해.
• 재매개변수화 불변 시스템—예를 들어 자코비의 원리에 의해 지배되는 시스템—에서 해밀토니안 제약 조건이 물리적 변화를 유도하며, 단지 게이지 변화가 아니라는 것을 입증하기 위해.
• 모든 일차 제약 조건이 게이지 생성자라는 것을 가정하기보다는, 제약 조건의 물리적 기원에 따라 각각의 사례를 개별적으로 평가해야 한다는 것을 주장하기 위해.
• 일반 상대성 이론과 양자 중력에서 해밀토니안 제약 조건의 역할을 재고하기 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 재매개변수화 불변(RI) 시스템의 구조를 분석하며, 일반 상대성 이론의 작용과 수학적 형태가 유사한 자코비의 원리를 특히 다룬다.
• 디라크의 증명이 일차 제약 조건이 게이지 생성자라는 것을 보여주는 데는 절대적 시간 매개변수를 가정하는 데 의존한다는 것을 규명한다. 이는 RI 시스템에서는 성립하지 않는다.
• 디라크의 추론에서 RI 시스템에 대해 누락된 명시적 계산을 완성하여, 해밀토니안 제약 조건에 의해 생성되는 캐논ical 진동이 물리적으로 구별되는 상태로 이어진다는 것을 보여준다.
• 표준 게이지 이론(예: 전기역학)에서의 골드만 제약 조건과의 대비를 통해, RI 시스템에서 해밀토니안 제약 조건의 행동을 분석한다. 여기서 골드만 제약 조건은 진짜로 게이지 변환을 생성한다.
• RI 시스템에서 해밀토니안이 항등적으로 0이 되는 점(H = 0)을 이용하며, 이는 진동이 비자명함을 의미하며 물리적 내용이 있음을 시사한다.
• 해밀토니안 제약 조건의 해에 나타나는 임의의 함수는 게이지 자유도 자체의 결과가 아니라, 구성 공간에서의 초기 위치와 방향의 물리적 조건에 기인한다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디라크의 정리—일차 제약 조건이 게이지 생성자라는 주장—는 일반 상대성 이론과 유사한 재매개변수화 불변 시스템에 대해 성립하는가?
• RQ2 시간이 절대적이지 않은 시스템, 예를 들어 자코비의 원리에 따라 지배되는 시스템에서 해밀토니안 제약 조건의 물리적 역할은 무엇인가?
• RQ3 재매개변수화 불변 시스템에서 제약 조건이 일차 제약 조건이면서도 제약 조건이 있음에도 불구하고 물리적 변화를 유도하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 절대적 시간의 부재가 디라크의 원래 증명—해당 제약 조건이 단지 게이지 변환만 생성한다는 것—를 어떻게 무효화하는가?
• RQ5 일반 상대성 이론에서 해밀토니안 제약 조건이 동시에 게이지 생성자이자 물리적 진동의 생성자일 수 있는가?

주요 결과

• 절대적 시간이 없기 때문에, 디라크가 일차 제약 조건이 게이지 변환을 생성한다고 증명한 것은 재매개변수화 불변 시스템에서는 실패한다.
• 일반 상대성 이론과 수학적으로 유사한 자코비의 원리에서 해밀토니안 제약 조건은 물리적 진동을 생성하며, 단지 게이지 변환만을 생성하는 것은 아니다.
• 제약 조건 시스템의 해에 나타나는 임의의 함수는 본질적으로 게이지 자유도의 징후가 아니며, 초기 위치와 방향의 물리적 지정에 기인한다.
• 모든 일차 제약 조건이 비물리적 운동을 생성하는 것은 아니며, 그 물리적 의미는 대수적 분류가 아니라 기초 역학에 따라 평가되어야 한다.
• 일반 상대성 이론에서 해밀토니안 제약 조건은 일부 물리적 변화의 생성자일 수 있으며, 이는 양자 중력 이론에서의 표준 교리에 도전하는 대목이다.
• 양자 중력에서의 관측 가능량은 반드시 '영속성'이어야 할 필요가 없다(즉, 해밀토니안 제약 조건과 교환 가능해야 한다). 특히 간단한 재매개변수화 불변 시스템에서는 그러한 필요성이 없다.