[논문 리뷰] Constructing a chaotic system with any number of equilibria

Xiong Wang, Guanrong Chen|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 27.

Chaos control and synchronization참고 문헌 14인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 기저 시스템이 안정한 평형점 하나를 가진다는 전제에서, 대칭 변환을 적용하여 사전에 지정된 수의 평형점을 가진 3차원 혼돈 시스템을 구성하는 새로운 방법을 제시한다. 단일 매개수를 조절함으로써 이러한 평형점의 안정성을 제어할 수 있으며, 1개, 2개, 3개 또는 그 이상의 평형점을 가진 혼돈 시스템을 생성할 수 있다. 이는 평형점 수/안정성과 전반적인 혼돈 역학 사이에 직접적인 연관성을 보여준다.

ABSTRACT

In the chaotic Lorenz system, Chen system and Rössler system, their equilibria are unstable and the number of the equilibria are no more than three. This paper shows how to construct some simple chaotic systems that can have any preassigned number of equilibria. First, a chaotic system with no equilibrium is presented and discussed. Then, a methodology is presented by adding symmetry to a new chaotic system with only one stable equilibrium, to show that chaotic systems with any preassigned number of equilibria can be generated. By adjusting the only parameter in these systems, one can further control the stability of their equilibria. This result reveals an intrinsic relationship of the global dynamical behaviors with the number and stability of the equilibria of a chaotic system.

연구 동기 및 목표

• 사전에 지정된 수의 평형점을 가진 혼돈 시스템을 설계하기 위한 체계적인 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 모든 원하는 수의 평형점을 포함, 안정적이고 불안정적인 구성까지 포함하여 혼돈 시스템을 구성할 수 있는지 탐색하기 위해.
• 평형점 수, 안정성, 그리고 그로 인한 전반적 역학적 행동(예: 다중 스크롤 또는 다중 날개 구조의 애트랙터) 사이의 관계를 조사하기 위해.
• 모든 궤도가 국소적으로 안정한 평형점으로 수렴하는 상황에서도 혼돈이 지속될 수 있음을 보여주어, 기존의 국소-전반적 역학 가정에 도전하기 위해.

제안 방법

• 단일 안정 평형점을 가진 혼돈 시스템 (2)를 기반으로 하며, 이는 Sprott E 시스템을 수정하여 유도된 것이다.
• 특히 복소수 거듭제곱 매핑 (x + iz)^n = u + iv를 활용한 대칭 변환을 적용하여, y축을 중심으로 n중 회전 대칭을 가지는 시스템을 생성한다.
• 이 변환은 x-z 평면에 대칭적으로 분포된 n개의 평형점을 도입하며, 평형점의 수는 변환에서 사용된 거듭제곱 n에 의해 결정된다.
• 기존 시스템의 매개수 'a'를 조절하여 평형점의 안정성을 제어한다: 'a'가 양수이면 안정 평형점, 음수이면 불안정 평형점이 된다.
• 리아프노프 지수 계산을 포함한 수치 분석을 통해 다양한 매개수 영역에서 혼돈 행동이 확인된다.
• 자기행렬 분석을 통해 평형점의 고유값을 평가하고 안정성 유형(예: 안정한 노드-포커스, 불안정한 사다리꼴-포커스)을 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼돈 시스템을 특정한 사전 지정된 수의 평형점을 가지도록 체계적으로 설계할 수 있는가?
• RQ2 평형점의 안정성(안정 vs. 불안정)이 결과 혼돈 애트랙터의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 모든 평형점이 없는 상태에서도 여전히 혼돈 역학을 나타내는 혼돈 시스템을 생성할 수 있는가?
• RQ4 3차원 자율 시스템에서 단일 조절 가능한 매개수를 통해 평형점의 수와 안정성을 제어할 수 있는가?
• RQ5 평형점의 수와 안정성은 시스템의 전반적 혼돈 행동과 어떤 본질적인 관계를 맺는가?

주요 결과

• 시스템 (1)에서 매개수 a < 0 인 경우 평형점이 전혀 없는 3차원 혼돈 시스템을 성공적으로 구성하였으며, 여전히 혼돈 애트랙터를 나타낸다.
• a > 0 인 시스템 (2)는 (1/4, 1/16, -16a)에 정확히 하나의 안정 평형점을 가지며, a = 0.006일 때 고유값 -0.9607과 -0.0197±0.5098i로 확인된다.
• (x + iz)^2 변환을 적용함으로써 시스템 (6)은 두 개의 대칭 평형점을 생성한다; a = 0.003일 경우 안정(고유값: -0.9334, -0.0333±0.5165i), a = -0.01일 경우 불안정(고유값: -1.0617, 0.0308±0.4843i).
• (x + iz)^3 변환은 시스템 (12)을 통해 세 개의 대칭 평형점을 생성한다; a = 0.01일 경우 안정(고유값: -0.9334, -0.0333±0.5165i), a = -0.01일 경우 불안정(고유값: -1.0617, 0.0308±0.4843i).
• (x + iz)^5 변환은 다섯 개의 대칭 평형점을 가지며, a = 0일 때 오각형 꽃잎 구조의 혼돈 애트랙터를 생성한다. 이는 수치 시뮬레이션으로 확인되었다.
• 다양한 매개수 값에서 가장 큰 리아프노프 지수는 항상 양수를 유지하여, 다수의 평형점을 가진 모든 구성된 시스템에서 혼돈 역학이 확인된다.