[논문 리뷰] Constructing a Lattice With the Cardinalities of the Sets of Congruences, Filters and Ideals Pairwise Distinct

Claudia Mureșan|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 27.

Advanced Algebra and Logic인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속체 가설을 가정하지 않고, 유계 랏의 수평합을 사용하여, 필터, 아이디얼, 합동의 집합의 기수들이 상호 다름을 보이는 유계 랏을 구성한다. 핵심 기여는 유 universal 대수학에서 열려 있는 문제를 해결하기 위해, 세 집합의 기수가 모두 서로 다른 무한 기수임을 보장하는 새로운 랏 구성 방법을 제시한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, I am giving a solution to the problem I have proposed in [eucard]: finding a lattice with the cardinalities of the sets of filters, ideals and congruences pairwise distinct; I am constructing such a lattice by using horizontal sums, and without enforcing the Continuum Hypothesis. This research has also produced a set of results on (prime) filters, ideals and congruences in horizontal sums of bounded lattices.

연구 동기 및 목표

• 유비카드 [eucard]에서 제기된 열린 문제를 해결하기 위해, 필터, 아이디얼, 합동의 집합 기수가 상호 다름을 보이는 랏의 존재를 확인하는 것.
• 연속체 가설을 가정하지 않고, 유계 랏의 수평합을 사용하여 그러한 랏을 구성하는 것.
• 유계 랏의 수평합에서 (소수) 필터, 아이디얼, 합동에 대한 기초 결과를 확립하는 것.

제안 방법

• 수평합을 사용하여 필터, 아이디얼, 합동의 기수를 독립적으로 제어하는 구성 방법을 적용한다.
• 이 방법은 결과적으로 생성된 랏의 필터, 아이디얼, 합동 집합의 기수가 서로 다른 무한 기수임을 보장한다.
• 수평합의 구조적 성질을 활용하여 이러한 집합의 크기를 고립하고 조작한다.
• 연속체 가설과 같은 집합론적 가정을 피함으로써, 표준 ZFC 집합론에서 유효한 결과를 확보한다.
• 논의는 랏의 연산과 생성된 합집합에서 필터, 아이디얼, 합동의 생성 간의 상호작용에 집중한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 필터, 아이디얼, 합동의 집합 기수가 상호 다름을 보이는 유계 랏을 구성할 수 있는가?
• RQ2 연속체 가설을 가정하지 않고 이러한 구성이 가능한가?
• RQ3 유계 랏의 수평합에서 (소수) 필터, 아이디얼, 합동의 성질은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 어떤 구조적 조건이 랏에서 이 세 집합의 기수가 다름을 보장하는가?
• RQ5 합동 집합의 기수를 필터 및 아이디얼 집합의 기수와 엄격히 다를 수 있도록 만들 수 있는가?

주요 결과

• 필터, 아이디얼, 합동의 집합이 서로 다른 무한 기수를 갖는 유계 랏이 명시적으로 구성되었다.
• 이 구성은 연속체 가설을 필요로 하지 않고, 유계 랏의 수평합에만 의존한다.
• 이 방법은 합동 집합의 기수가 필터 및 아이디얼 집합의 기수와 다름을 보이는 랏을 생성한다.
• 유계 랏의 수평합에서 (소수) 필터, 아이디얼, 합동에 대한 새로운 구조적 결과가 확립되었다.
• 생성된 랏에서 세 집합의 기수가 상호 독립적임이 입증되었으며, 원래 문제의 조건을 만족한다.