[논문 리뷰] Constructing (Co)inductive Types via Large Sizes

Benno van den Berg, Bastiaan Laarakker외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 21.

Logic, programming, and type systems인용 수 0

한 줄 요약

이 논문은 대규모 Size 타입과 매개변수화된 크기 한정자를 사용하여 모든 (co)inductive 타입을 인코딩하고, 크기를 비가산 서수로 해석하는 실현가능성 모델을 통해 일관성을 입증한다.

ABSTRACT

To ensure decidability and consistency of its type theory, a proof assistant should only accept terminating recursive functions and productive corecursive functions. Most proof assistants enforce this through syntactic conditions, which can be restrictive and non-modular. Sized types are a type-based alternative where (co)inductive types are annotated with additional size information. Well-founded induction on sizes can then be used to prove termination and productivity. An implementation of sized types exists in Agda, but it is currently inconsistent due to the addition of a largest size. We investigate an alternative approach, where intensional type theory is extended with a large type of sizes and parametric quantifiers over sizes. We show that inductive and coinductive types can be constructed in this theory, which improves on earlier work where this was only possible for the finitely-branching inductive types. The consistency of the theory is justified by an impredicative realisability model, which interprets the type of sizes as an uncountable ordinal.

연구 동기 및 목표

• 종속적 타입 프로그래밍과 수학에서 종료성 및 생산성 보장을 동기화한다.
• 대규모 사이즈와 매개변수적 한정자를 사용하여 (co)inductive 타입을 인코딩하는 타입이론 프레임워크를 개발한다.
• 모든 다항 endofunctor에 대해 귀납적 및 공귀납적 타입의 일관성 있는 인코딩을 제공한다.
• 사이즈 인덱스화된 구성들이 초기 대수와 최종 코알로브레가 어떻게 형성되는지 보여준다.
• Hyland의 유효 토포스에 기반한 실현가능성 모델을 통해 일관성을 보인다.
• HoTT와의 호환성을 보장하기 위해 항등 증명의 고유성에 의존하지 않는다.

제안 방법

• 0, successor, 그리고 잘 정의된 사이즈 기반 귀납 원리(fix)를 갖는 Size 타입을 도입한다.
• 사이즈에 대한 비제한적 보편/존재 한정자와 사이즈와 타입 생성자 간의 매개화성에 대한 공리들을 추가한다.
• 사이즈 인덱스화된 endofunctor(Diamond과 Box)을 정의하여 사이즈에 대한 경계 있는 존재/보편 한정화를 모델링한다.
• 사이즈 인덱스화된 초기 대수를 구성하고 고정점 기반 펼침과 초기성 논증을 사용하여 존재성을 입증한다.
• 일반적인(비인덱스화된) endofunctor F가 사이즈 인덱스화된 초기 대수의 존재에 의해 존재하는 초기 대수를 갖는다는 것을 보이며, 이를 위해 왼쪽 부도관계(left adjoint relation)를 사용한다.
• 사이즈를 비가산 서수로 해석하는 실현가능성 모델을 통해 일관성의 근거를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 사이즈와 매개변수 한정자를 사용하여 모든 다항 엔도펀터에 대해 귀납적 및 공귀납적 타입을 인코딩할 수 있는가?
• RQ2 제약이 있는 비제한성 하에서 크기 한정자가 표준 타입 생성자와 우주(유니버스)와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ3 결과 이론의 일관성이 있는가, 그리고 실현가능성 모델을 통해 어떻게 이를 보일 수 있는가?
• RQ4 사이즈 인덱스화된 구성과 경고된(guarded) 타입 이론 같은 기존 접근법이 (co)inductive 타입 형성에 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 모든 (co)inductive 타입은 사이즈와 매개변수 한정자를 사용해 인코딩할 수 있다.
• 다항 endofunctor에 대한 초기 대수와 최종 코알고라를 통해 귀납적 및 공귀납적 구성은 얻어진다.
• 일관성은 Size 타입을 비가산 서수로 해석하는 실현가능성 모델에 의해 정당화된다.
• 이 접근법은 매개성(파라메트릭성)을 내재화하고 항등 증명의 고유성 의존을 피함으로써 HoTT와의 호환성을 가능하게 한다.
• 이 이론은 확장된 큰 Size 타입과 비제한적 크기 한정자를 사용하면서도 확장적 추론(extensional reasoning)을 보존한다.
• 사이즈 한정자의 타입 생성자와의 매개적 교환에 관한 공리들이 인코딩의 기초를 이룬다.