[논문 리뷰] Constructing copulas from shock models with imprecise distributions

Matjaž Omladič, Damjan Škulj|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 19.

Advanced Statistical Methods and Models참고 문헌 66인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 분포 불확실성 하에서 충격 모델로부터 부정확한 코풀라를 구성하며, 불확실한 귀속을 표현하기 위해 p-박스를 사용한다. 표준 부정확한 코풀라보다 더 강한 조건을 만족하는 마셜의 코풀라 및 최소-최대 코풀라의 부정확한 버전을 도입하여, 부정확한 스클라의 정리가 완전히 적용되지 않는 경우에도 더 날카운 joint 의존성 범위를 제공한다.

ABSTRACT

The omnipotence of copulas when modeling dependence given marg\-inal distributions in a multivariate stochastic situation is assured by the Sklar's theorem. Montes et al.\ (2015) suggest the notion of what they call an \emph{imprecise copula} that brings some of its power in bivariate case to the imprecise setting. When there is imprecision about the marginals, one can model the available information by means of $p$-boxes, that are pairs of ordered distribution functions. By analogy they introduce pairs of bivariate functions satisfying certain conditions. In this paper we introduce the imprecise versions of some classes of copulas emerging from shock models that are important in applications. The so obtained pairs of functions are not only imprecise copulas but satisfy an even stronger condition. The fact that this condition really is stronger is shown in Omladi\v{c} and Stopar (2019) thus raising the importance of our results. The main technical difficulty in developing our imprecise copulas lies in introducing an appropriate stochastic order on these bivariate objects.

연구 동기 및 목표

• 충격 모델 기반 코풀라(마셜의 코풀라 및 최소-최대 코풀라)를 부정확한 귀속 분포가 존재하는 설정으로 확장하기 위해.
• 귀속 분포가 정확히 알려져 있지 않고 범위 내에서만 알려져 있을 경우(즉, p-박스를 통해) 의존성을 모델링하는 데 도전하는 문제를 다루기 위해.
• 충격 모델의 구조를 유지하는 부정확한 이元 코풀라에 대한 스토크라스틱 순서 프레임워크를 개발하기 위해.
• 유도된 부정확한 코풀라가 몬테스 등이 정의한 부정확한 스클라의 정리의 부정확한 형태를 만족하는지 여부를 조사하기 위해.
• 기존의 부정확한 코풀라 프레임워크가 충격 모델에 부정확한 입력이 있을 경우에 적용될 때의 한계를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 구성 요소 수명을 충격 과정으로 모델링: 고유의 충격(X, Y)과 공통의 외부 충격(Z)을 포함하며, 수명은 U = min{X,Z}, V = min{Y,Z} (마셜) 또는 U = max{X,Z}, V = min{Y,Z} (최소-최대)로 정의된다.
• 불확실한 귀속을 p-박스(F̲X, F̄X) 및 (F̲Y, F̄Y)를 통해 표현하며, 누적 분포 함수의 하한 및 상한을 나타낸다.
• 충격 모델과 p-박스 제약 조건에 기반한 조각별 표현식을 사용하여 (U,W)의 연합 분포 함수 H(x,y)를 정의한다.
• p-박스 내에서 충격 분포의 극한 선택을 통해 연합 분포 함수 H의 하한 및 상한 H̲ 및 H̄를 유도한다.
• 코풀라 자체가 아니라 충격 수준의 불확실성에 기반한 이원 함수에 대한 스토크라스틱 순서를 도입하여 타당한 스토크라스틱 해석을 보장한다.
• 유도된 경계(H̲, H̄)가 표준 부정확한 코풀라보다 더 강한 조건을 만족하는 이원 p-박스를 이룬다는 것을 증명하였으며, 이는 코로나리 2 및 3에서 보여진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마셜의 코풀라 및 최소-최대 코풀라를 부정확한 귀속 분포가 존재하는 설정으로 의미 있게 확장할 수 있는가?
• RQ2 유도된 부정확한 코풀라가 몬테스 등이 정의한 부정확한 스클라의 정리의 부정확한 형태를 만족하는가?
• RQ3 유도된 부정확한 코풀라가 표준 부정확한 코풀라 정의를 초월하는 더 강한 구조적 조건을 만족하는가?
• RQ4 충격이 p-박스로 모델링될 경우, 이원 부정확한 대상에 대한 스토크라스틱 순서는 어떻게 정의되어야 하는가?
• RQ5 연합 분포 경계(H̲, H̄)가 경계 귀속에 적용된 경계 코풀라에 의해 포괄되지 않는다는 사실의 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 코로나리 2 및 3에서 증명한 바와 같이, 표준 부정확한 코풀라보다 더 강한 조건을 만족하는 마셜의 코풀라 및 최소-최대 코풀라의 부정확한 버전을 구성한다.
• 유도된 연합 분포 경계(H̲, H̄)는 경계 귀속에 경계 코풀라를 적용함으로써 포괄되지 않으며, 이는 이 설정에서 부정확한 스클라의 정리가 성립하지 않음을 시사한다.
• 경계(H̲, H̄)는 p-박스 내에서 충격 분포를 극한화함으로써 도출되며, H̲는 F̲X, F̲Y의 하한을 취함으로써, H̄는 F̄X, F̄Y의 상한을 취함으로써 달성된다.
• 연합 분포 함수 H(x,y)는 조각별로 정의된다: x ≤ y 인 경우 H(x,y) = F̲X(x)FZ(x), x ≥ y 인 경우 H(x,y) = F̲X(x)[FZ(y) + F̲Y(y)(FZ(x) − FZ(y))], 상한에 대해서도 유사한 표현식이 존재한다.
• 하한 및 상한 연합 분포 함수는 H̲ ≤ H̄를 만족하며, 쌍(H̲, H̄)은 가능한 모든 연합 분포의 범위를 묘사하는 이원 p-박스를 이룬다.
• 논문은 부등식 CMMφ,χ ≤ CMMφ̄,χ̄가 반드시 성립하지 않음을 보여주며, 이는 코풀라 수준의 순서가 일반적인 의미에서 단조적이지 않음을 시사한다. 이는 충격 모델에서의 부정확한 의존성 모델링의 복잡성을 더욱 부각시킨다.