[논문 리뷰] Constructing Initial Algebras Using Inflationary Iteration

Andrew M. Pitts, S. C. Steenkamp|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 30인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 순서수에서의 일반화를 피하기 위해 크기의 개념을 사용하는 비상승적 반복을 통해 내림차순 함자에 대한 초기 대수의 존재성을 구성적으로 증명한다. 고전적 논리와 선택공리의 사용을 피하며, WISC라는 약한 선택원리가 성립할 경우, 몫과 무한 지수 함수를 포함한 광범위한 함자 클래스에 이 방법이 적용됨을 보여준다. 이는 체르코프-토포스와 같은 구성적 환경에서의 초기 대수 구축을 가능하게 한다.

ABSTRACT

An old theorem of Adámek constructs initial algebras for sufficiently cocontinuous endofunctors via transfinite iteration over ordinals in classical set theory. We prove a new version that works in constructive logic, using "inflationary" iteration over a notion of size that abstracts from limit ordinals just their transitive, directed and well-founded properties. Borrowing from Taylor's constructive treatment of ordinals, we show that sizes exist with upper bounds for any given signature of indexes. From this it follows that there is a rich class of endofunctors to which the new theorem applies, provided one admits a weak form of choice (WISC) due to Streicher, Moerdijk, van den Berg and Palmgren, and which is known to hold in the internal constructive logic of many kinds of topos.

연구 동기 및 목표

• 전이수를 통한 초월순서 반복과 고전적 논리에 의존하는 아담에크의 고전적 초기 대수 정리에 대한 구성적 대안을 개발하기 위해.
• 특히 몰입과 무한 지수 함수를 포함하는 함자에 대해 구성적 환경에서 초기 대수를 구축하는 데 도전하는 문제를 다루기 위해.
• 초기 대수를 구성적으로 만들 수 있음을 보여주기 위해, 순서수를 일반화한 '크기'의 개념을 도입하여 전이성, 방향성, 잘 서 있는 성질에 집중함으로써, 극한 형성에 필요한 본질적 성질를 유지함을 위해.
• 약한 커버 집합의 초기성(Weakly Initial Sets of Covers, WISC) 공리를 도입하여, 극한 형성에 필요한 충분히 큰 크기의 존재를 보장함으로써, 토포스 이론적 모델에서 풍부한 함자 클래스에 대해 이 방법이 적용 가능함을 보여주기 위해.
• 고전적 논리가 성립하지 않는 구성적 토포스에서 종속형 이론의 인도크티브 및 몰입 구성 요소를 모델링하기 위한 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 극한 형성에 필요한 본질적 성질를 유지하면서도 극한 순서수에서의 일반화를 피하기 위해, 전이성, 방향성, 잘 서 있는 순서로 구성된 새로운 '크기'의 개념을 도입함.
• 크기 κ 위에서 함자 F의 비상승적 반복을 정의하여, 완비 범주 C 내에서 인덱스 α ∈ κ에 대해 (Fα₀)α∈κ의 다이어그램을 구성함. 여기서 각 Fα₀는 F를 α까지 반복적으로 적용한 결과의 이미지임.
• 극한의 보편 성질을 이용하여, 각 iα: Fα₀ → Fα+₀의 연결 사상들을 정의함으로써 다이어그램 내에서의 일致성을 확보함.
• 만약 이 비상승적 반복의 극한이 존재하고, 최종 연결 사상 iα가 동형사상이라면, (Fα₀, iα⁻¹)은 초깃값 F-대수를 이룸을 증명함.
• 테일러의 순서수 다루기 방식을 영감으로 삼아 구성적 원리에 기반하여, 주어진 색인 서명에 대해 상한을 가진 크기의 존재를 증명함.
• WISC 공리를 적용하여, 임의의 함자 F에 대해 F가 κ 형상의 극한을 보존하는 크기 κ가 존재함을 보장함으로써, 고전적 선택 원리 없이도 초깃값 대수를 구성할 수 있음을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선택공리와 배중률을 사용하지 않고도 구성적 논리 환경에서 함자에 대한 초깃값 대수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 전이수를 통한 고전적 초월순서 반복을, 극한 형성에 필요한 성질를 유지하면서도 구성적 추론에 적합한 더 일반적인 '크기' 개념으로 대체할 수 있는가?
• RQ3 구성적 범주론에서 극한 형성에 필요한 충분히 큰 크기의 존재를 보장하기 위해 어떤 선택 원리가 충분한가?
• RQ4 이 구성적 방법이 무한 지수 함수와 몰입 구성 요소를 포함하는 비다항식 함자에 얼마나 널리 적용될 수 있는가?
• RQ5 이 접근법을 더 일반적인 등식 체계에서 자유 대수의 존재성에 대한 구성적 증명으로 확장할 수 있는가? 특히 토포스에서의 응용을 고려하여.

주요 결과

• 함자 F가 어떤 크기 κ의 극한을 보존한다면, 그 비상승적 반복의 극한이 초깃값 F-대수임을 보여주는 새로운 구성적 정리(정리 3.8)를 확립함.
• 이러한 구성에서 사용된 '크기'의 개념은 전이성, 방향성, 잘 서 있는 순서의 구조에 집중함으로써, 순서수를 일반화한 것으로, 고전적 순서수 성질에 의존하지 않음.
• 주어진 색인 서명에 대해 상한을 가진 크기의 존재는 구성적으로 증명되었으며, 이는 이 방법이 광범위하게 적용될 수 있음을 보장함.
• 약한 커버 집합의 초기성(WISC) 공리가 몰입과 무한 지수 함수를 포함한 풍부한 함자 클래스에 대해 이러한 크기의 존재를 보장하는 데에 충분함을 보였음.
• Agda의 크기 기반 형 이론에서 논리적 모순을 일으킬 수 있는 무한 크기 ∞의 정적 사용을 피하기 위해, 대신 극한 형성 과정을 통해 초깃값 대수를 얻는 방식을 요구함.
• 이 방법은 예측 가능하며, 자연수 대상과 유니버스를 갖는 기본 토포스 내에서 유효하므로, 인도크티브 및 몰입 구성 요소를 포함하는 종속형 이론의 모델링에 적합함.