[논문 리뷰] Constructing Piecewise-Polynomial Lyapunov Functions on Convex Polytopes Using Handelman's Basis

Reza Kamyar, Chaitanya Murti외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 22.

Gene Regulatory Network Analysis인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 다항 비선형 시스템의 안정성 분석을 위해 볼록 다면체 위에서 조각다항식 라플라스 함수를 구성하기 위한 새로운 볼록 최적화 방법을 제안한다. 평형점 주변의 다면체를 분해하고 핸델만의 정리를 적용함으로써 선형 프로그래밍으로 해결 가능한 애핀 타당 조건을 수립하여, 고차원·고차수 시스템에 대해 소스 오브 스퍼즈(SOS) 또는 폴리아 기반 방법보다 낮은 계산 복잡도를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a new convex approach to stability analysis of nonlinear systems with polynomial vector fields. First, we consider an arbitrary convex polytope that contains the equilibrium in its interior. Then, we decompose the polytope into several convex sub-polytopes with a common vertex at the equilibrium. Then, by using Handelman's theorem, we derive a new set of affine feasibility conditions -solvable by linear programming- on each sub-polytope. Any solution to this feasibility problem yields a piecewise polynomial Lyapunov function on the entire polytope. This is the first result which utilizes Handelman's theorem and decomposition to construct piecewise polynomial Lyapunov functions on arbitrary polytopes. In a computational complexity analysis, we show that for large number of states and large degrees of the Lyapunov function, the complexity of the proposed feasibility problem is less than the complexity of certain semi-definite programs associated with alternative methods based on Sum-of-Squares or Polya's theorem. Using different types of convex polytopes, we assess the accuracy of the algorithm in estimating the region of attraction of the equilibrium point of the reverse-time Van Der Pol oscillator.

연구 동기 및 목표

• 다항 비선형 시스템을 위한 계산 효율적인 라플라스 함수 구축 방법을 개발하기 위해.
• 고차원 시스템과 고차수 다항 벡터장이 있는 경우의 안정성 분석 과제를 해결하기 위해.
• 기존의 소스 오브 스퍼즈 또는 폴리아 기반 접근법에 비해 계산 복잡도를 감소시키기 위해.
• 볼록 다면체 영역을 사용하여 안정성 영역을 정확하게 추정할 수 있도록 하기 위해.
• 핸델만의 정리를 임의의 볼록 다면체 위에서 조각다항식 라플라스 함수 구축에 확장하기 위해.

제안 방법

• 방법은 평형점을 내부에 포함하는 볼록 다면체를 선택함으로써 시작된다.
• 다면체는 평형점을 공통 정점으로 공유하는 다수의 볼록 부분다면체로 분해된다.
• 각 부분다면체에서 핸델만의 정리를 적용하여 비음성 조건을 비음성 다항식 기반으로 표현한다.
• 각 부분다면체에 대해 애핀 타당 조건이 유도되며, 이를 선형 프로그래밍으로 해결할 수 있다.
• 타당 문제의 해는 전체 다면체 위에서 연속적인 조각다항식 라플라스 함수를 제공한다.
• 이 방법은 시스템의 상태 수가 많고 라플라스 함수의 차수가 높은 경우에도 볼록성과 확장 가능성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 핸델만의 정리는 임의의 볼록 다면체 위에서 조각다항식 라플라스 함수를 구성하는 데 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 고차원 시스템에 대해 제안된 방법이 소스 오브 스퍼즈 또는 폴리아 기반 방법보다 낮은 계산 복잡도를 달성하는가?
• RQ3 이 조각다항식 라플라스 함수 구성으로 안정성 영역을 얼마나 정확하게 추정할 수 있는가?
• RQ4 다면체 기하학적 구조와 분해 전략은 안정성 추정의 보수성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 방법은 역시간 반데르폴 오실레이터와 같은 비선형 시스템에 체계적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 상태 수가 많고 라플라스 함수의 차수가 높은 시스템에 대해 소스 오브 스퍼즈 또는 폴리아 기반 접근법에 비해 계산 복잡도를 감소시킨다.
• 타당 문제는 선형 프로그래밍을 통해 해결되어 대규모 시스템에서도 효율적인 계산이 가능하다.
• 이 방법은 평형점을 공통 정점으로 가지는 임의의 볼록 다면체 위에서 연속적인 조각다항식 라플라스 함수를 성공적으로 구성한다.
• 이 방법은 다양한 유형의 다면체를 사용하여 역시간 반데르볼 오실레이터의 안정성 영역을 정확하게 추정하는 데 성공한다.
• 핸델만 기반은 부분다면체 위에서 비음성 조건을 체계적이고 볼록하게 수식화하여 해법의 타당성을 보장한다.
• 분해 전략은 전역 다항식 방법에 비해 안정성 분석의 유연성과 보수성을 향상시킨다.