[논문 리뷰] Constructing symmetric monoidal bicategories functorially

Linde Wester Hansen, Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 34인용 수 32

한 줄 요약

논문은 모노이드 더블 범주로부터 그 기저 비카테고리로 모노이드화, braided, 그리고 symmetric 구조를 functorial 방법으로 올려 모노이드 비카테고리, 함수자, 및 변환의 체계적 구성들을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present a method of constructing monoidal, braided monoidal, and symmetric monoidal bicategories from corresponding types of monoidal double categories that satisfy a lifting condition. Many important monoidal bicategories arise naturally in this way, and applying our general method is much easier than explicitly verifying the coherence laws of a monoidal bicategory for each example. Abstracting from earlier work in this direction, we express the construction as a functor between locally cubical bicategories that preserves monoid objects; this ensures that it also preserves monoidal functors, transformations, adjunctions, and so on. Examples include the monoidal bicategories of algebras and bimodules, categories and profunctors, sets and spans, open Markov processes, parametrized spectra, and various functors relating them.

연구 동기 및 목표

• 다양한 맥락에서 대칭 모노이드 비카테고리의 중요성과 응집 검증의 용이성을 동기 부여한다.
• 더블 카테고리에서 기저 비카테고리로 모노이드 구조를 전달하는 일반적인 승격 방법을 도입한다.
• 모노이드 객체와 모노이드(monoidal) 모형 및 사상(함수자와 변환)을 보존하는 functorial 프레임워크를 제공한다.
• 대수와 이항 모듈, 프로퍼런스를 다루는 범주, 그리고 스팬 등 다양한 예시를 통해 적용 가능성을 보여준다.
• 동반자(companions)/상호자(conjoints)가 승격을 가능하게 하고 결과 비카테고리의 일관성을 보장하는 방법을 설명한다.

제안 방법

• 대칭 모노이달 더블 카테고리와 그 느슨(lax)/느슨(colax)/강한(strong) 모노이달 함자를 정의하고 다룬다.
• 기저 비카테고리에서 촘촘한 1-셀들을 느슨한(또는 느슨하지 않은) 셀로 승격시키기 위해 컴패니언/콘조인트를 도입한다.
• 적절한 조건에서 기저 비카테고리 L(D)이 모노이달/브레이디드/대칭 모노이드 비카테고리가 됨을 보인다.
• 모노이달 더블 카테고리에서 모노이달 비카테고리로의 L이라는 함수자를 개발하고 모노이달 구조와 사상을 보존한다.
• L이 국소 큐비컬(bicategories) 간의 함수자로 확장되어 모노이얼 객체와 셀을 보존한다는 것을 확립한다.
• 실용적으로Construction를 보여주기 위해 여러 예를 통해 구현을 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 더블 카테고리의 모노이달, 브레이디드, 대칭 구조를 기저 비카테고리로 함수자적으로 전달할 수 있는가?
• RQ2 L(D)이 모노이달(또는 브레이디드/대칭) 비카테고리 구조를 상속하도록 하는 승격 조건과 일관성 데이터는 무엇인가?
• RQ3 승격을 모노이달 함수자, 변환 및 접합에서도 확장하여 합성을 보존할 수 있는가?
• RQ4 대수와 이항 모듈, 프로퍼런스, 스팬, 열린 마코프 과정, 매개변수화된 스펙트럼 등의 구체적 설정에서 이 방법이 새로운 모노이달 비카테고리를 만들어내는가?
• RQ5 컴패니언/콘조인트가 Functorial 승격을 어떻게 촉진하고 일관성을 유지시키는가?

주요 결과

• 일반 정리: D가 느슨하게 강한 컴패니언을 가진 모노이달 이중 범주일 때 L(D)는 모노이달 비카테고리이며, D가 그렇다면 브레이디드/대칭도 된다.
• 구성 L은 모노이달 더블 카테고리의 국소 큐비컬 비카테고리들 간의 함수자로 확장되어 모노이달 객체와 사상을 보존한다.
• 프레임워크는 모노이달 비카테고리뿐만 아니라 모노이달 함수자, 변환 및 합성을 일관되고 함수적으로 보존하는 구조를 제공한다.
• 이 방법은 대수와 이항 모듈, 범주와 프로퍼런스, 스팬은 물론 열려 있는 마코프 과정과 매개변수화된 스펙트럼 등을 포함한 다양한 예에서 적용 가능하다.
• 일관성 및 승격은 컴패니언/콘조인트를 통해 다루어지며, 이로써 느슨한 화살표를 고유(동형에 가까운) 승격으로 제공해 L(D)로 모노이달 구조가 전달된다.
• 이 접근법은 느슨함(lax), colax, 또는 강한 모노이달 함수자 및 변환을 수용할 수 있으며, 출력은 승격된 구조의 적절한 엄격성을 보장한다.