[논문 리뷰] Constructing unextendible product bases from the old ones

Yanling Wang, Mao-Sheng Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 19.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 12인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 이원 및 다원 양자 시스템에서 기존의 UPB를 수직 부분계에서 조합하여 비확장 가능한 곱 기저(UPB)를 구성하는 새로운 방법을 제시한다. $Χ^{m} \otimes \u03a7^{n_1}$ 및 $Χ^{m} \otimes \u03a7^{n_2}$에서의 UPB의 합집합이 $Χ^{m} \otimes \u03a7^{n_1+n_2}$에서 UPB를 형성함을 보이며, 이는 $\u03a7^{n} \otimes \u03a7^{n}$에서 4에서 $n^2/2$까지, $m \geq 4, n \geq 10$인 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n}$에서 4에서 $(m-1)(n-8)$까지의 누락 상태 수를 갖는 UPB의 구축을 가능하게 한다. 또한 다원계 시스템으로의 확장도 가능하다.

ABSTRACT

We studied the construction problem of the unextendible product basis (UPB). We mainly give a method to construct a UPB of a quantum system through the UPBs of its subsystem. Using this method and the UPBs which are known for us, we construct different kinds of UPBs in general bipartite quantum system. Then we use these UPBs to construct a family of UPBs in multipartite quantum system. The UPBs can be used to construct the bound entangled states with different ranks.

연구 동기 및 목표

• 기존 UPB를 바탕으로 양자 시스템에서 새로운 비확장 가능한 곱 기저(UPB)를 체계적으로 구성하는 일반적인 방법을 개발하는 것.
• 제어 가능한 누락 상태 수를 갖는 고차원 이원계 시스템으로 기존 UPB 구성법을 확장하는 것.
• 이원계 UPB를 빌드 블록으로 사용하여 다원계 양자 시스템으로 구성법을 일반화하는 것.
• 이러한 새로운 UPB 구조를 통해 다양한 랭크를 갖는 유한 얽힘 양상태를 생성할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 두 개의 수직 부분계인 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n_1}$ 및 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n_2}$에서의 UPB를 조합하여 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n_1+n_2}$에서 UPB를 형성한다.
• 이들은 부분계가 수직이고 원래 집합이 비확장 가능할 경우, 서로 다른 부분계에서의 UPB의 합집합이 여전히 UPB임을 증명한다.
• 이 구성은 재귀적 접근을 사용한다: 목표 누락 상태 수 $m$에 대해 $m = qL + r$로 분해하고, $L$개의 누락 상태를 갖는 $q$개의 UPB와 $r$개의 누락 상태를 갖는 하나의 UPB를 조합한다.
• 이 방법은 저차원 시스템에서의 UPB의 텐서 곱이 고차원 시스템에서 여전히 비확장 가능함을 보장하기 위해 레마 3을 적용한다.
• 이 구성은 다원계 시스템으로 일반화되며, 여러 부분계에 걸쳐 반복적으로 적용된다.
• 이를 통해 $N$-편자 시스템에서 4에서 $L$까지의 누락 상태 수를 갖는 UPB의 존재를 이용하여 $(N+1)$-편자 시스템에서 4에서 $d_{N+1}L$까지의 누락 상태 수를 갖는 UPB를 생성할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 양자 시스템의 수직 부분계에서 기존 UPB를 체계적으로 조합하여 새로운 UPB를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 구성 방법을 사용할 때 $\u03a7^{n} \otimes \u03a7^{n}$에서 실현 가능한 누락 상태 수의 범위는 무엇인가?
• RQ3 이 방법은 일반적인 이원계 시스템 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n}$에서 $m \geq 4, n \geq 10$일 때, 누락 상태 수가 연속적인 범위를 갖는 UPB를 생성할 수 있는가?
• RQ4 이원계 시스템의 UPB는 어떻게 다원계 시스템의 UPB를 생성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 최소 UPB 크기와 구성된 크기 사이의 격차를 메울 수 있는가?

주요 결과

• $\u03a7^{n} \otimes \u03a7^{n}$에서 이 방법은 누락 상태 수가 4에서 $n^2/2$까지인 UPB를 구성한다.
• $m \geq 4$ 및 $n \geq 10$인 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n}$에서 이 방법은 누락 상태 수가 4에서 $(m-1)(n-8)$까지인 UPB를 생성한다.
• 이 구성은 부분계 간의 수직성과 비확장 가능성의 유지로 인해 결과 집합이 여전히 비확장 가능한 곱 기저로 남아 있음을 보장한다.
• 이 방법은 $N$-편자 시스템에서 4에서 $L$까지의 누락 상태 수를 갖는 UPB가 존재할 경우, $(N+1)$-편자 시스템에서 4에서 $d_{N+1}L$까지의 누락 상태 수를 갖는 UPB를 생성할 수 있도록 한다.
• 결과적으로 이는 다양한 랭크를 갖는 유한 얽힘 양상태를 구성하는 체계적인 방법을 제공한다.
• 논문은 최소 가능한 UPB 크기와 구성된 크기 사이의 격차를 규명하였으며, 중간 단계의 누락 상태 수를 갖는 UPB를 더 잘 구성할 여지가 있음을 시사한다.