[논문 리뷰] Construction and classification of diffeomorphism-invariant non-commutative Seiberg--Witten gravities

S. Mârculescu, F. Ruiz Ruiz|arXiv (Cornell University)|2008. 08. 14.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 SO(1,3) 게이지 대칭성과 공변적으로 일정한 변형 매개변수 $\theta^{\mu\nu}(x)$를 갖는 Seiberg-Witten 변환을 통해 미분형식 불변성(non-commutative gravity) 이론의 가족을 구성한다. 정상 좌표계에서 베르베인 가정을 적용하고 우주상수를 포함함으로써, 고전적 작용은 $\theta^{\mu\nu}$에 대한 미분형식 불변성의 멱급수 형태가 되며, 명시적인 두 번째 차수 기여항들은 오직 두 개의 2차원 성분으로 분해 가능한 4차원 메트릭만 허용됨을 보여주며, 이는 변형된 기여 중력 이론의 계열을 유도한다.

ABSTRACT

A family of diffeomorphism-invariant Seiberg--Witten deformations of gravity is constructed. In a first step Seiberg--Witten maps for an SO(1,3) gauge symmetry are obtained for constant deformation parameters. This includes maps for the vierbein, the spin connection and the Einstein--Hilbert Lagrangian. In a second step the vierbein postulate is imposed in normal coordinates and the deformation parameters are identified with the components $ heta^{\mu u}(x)$ of a covariantly constant bivector. This procedure gives for the classical action a power series in the bivector components which by construction is diffeomorphism-invariant. Explicit contributions up to second order are obtained. For completeness a cosmological constant term is included in the analysis. Covariant constancy of $ heta^{\mu u}(x) $, together with the field equations, imply that, up to second order, only four-dimensional metrics which are direct sums of two two-dimensional metrics are admissible, the two-dimensional curvatures being expressed in terms of $ heta^{\mu u}$. These four-dimensional metrics can be viewed as a family of deformed emergent gravities.

연구 동기 및 목표

• SO(1,3) 게이지 대칭성에 대해 Seiberg-Witten 변환을 사용하여 미분형식 불변성의 변형 중력 이론을 구성하기.
• 일정한 변형 매개변수를 시공간에 의존하는 공변적으로 일정한 2차형 장 $\theta^{\mu\nu}(x)$로 확장하기.
• 결과로 얻어진 작용이 미분형식 불변성 유지와 함께 아인슈타인-힐베르트 라그랑지안 및 우주상수 항을 포함하도록 보장하기.
• 이러한 변형 하에서 필드 방정식을 통해 나타나는 허용 가능한 시공간 기하학의 분류, 특히 $\theta^{\mu\nu}$에 대해 두 번째 차수까지 수행하기.

제안 방법

• 일정한 변형 매개변수를 갖는 SO(1,3) 게이지 대칭성 하에서 베르베인, 스핀 접속, 아인슈타인-힐베르트 라그랑지안에 대한 Seiberg-Witten 변환 유도하기.
• 정상 좌표계에서 베르베인 가정을 도입하여 스핀 접속과 베르베인 간의 관계를 설정하고 리만 기하학과의 일관성을 확보하기.
• 변형 매개변수 $\theta^{\mu\nu}$를 공변적으로 일정한 2차형 장 $\theta^{\mu\nu}(x)$의 성분으로 식별하여 접속의 공변 일정성과의 호환성을 확보하기.
• 작용을 $\theta^{\mu\nu}(x)$에 대한 멱급수 형태로 구성하고, 구성 과정에서 자동으로 미분형식 불변성을 확보하기.
• 일반성과 표준 중력 이론 확장과의 일관성을 유지하기 위해 작용에 우주상수 항을 포함하기.
• 필드 방정식과 $\theta^{\mu\nu}$의 공변 일정성을 활용하여 $\theta^{\mu\nu}$에 대해 두 번째 차수까지 허용 가능한 시공간 메트릭의 형태를 제약하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Seiberg-Witten 변환은 어떻게 일반화되어 SO(1,3) 게이지 대칭성을 갖는 미분형식 불변성의 비가환 중력 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ2 변형 매개변수 $\theta^{\mu\nu}(x)$가 변형된 작용에서 미분형식 불변성을 유지하기 위해 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ3 만일 $\theta^{\mu\nu}(x)$가 공변적으로 일정하고 작용이 두 번째 차수까지 전개될 경우, 필드 방정식과 일치하는 시공간 기하학은 무엇인가?
• RQ4 우주상수의 포함은 변형된 중력 이론의 작용 및 그 해의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 결과로 얻어진 변형된 중력 이론은 낮은 차원의 중력 성분으로부터 기인하는 것으로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 구성된 작용은 명시적으로 미분형식 불변성이며, 공변적으로 일정한 2차형 장의 성분 $\theta^{\mu\nu}(x)$에 대한 멱급수 형태로 표현된다.
• 두 번째 차수까지 $\theta^{\mu\nu}$에서 시공간 메트릭은 두 개의 2차원 메트릭의 직접 합으로 제한된다.
• 각 2차원 성분의 곡률은 2차형 성분 $\theta^{\mu\nu}$에 의해 완전히 결정되며, 기하학적 제약 조건을 설정한다.
• 우주상수는 작용에 일관되게 포함되어 있으며, 변형된 이론 내에서 그 역할을 유지한다.
• 결과로 얻어진 4차원 메트릭의 계열은 비가환성이 2차형 $\theta^{\mu\nu}(x)$에 의해 코딩된 변형된 기여 중력 이론의 가족을 나타낸다.
• 이 과정은 베르베인, 스핀 접속, 아인슈타인-힐베르트 라그랑지안에 대한 Seiberg-Witten 변환이 시공간에 의존하는 공변적으로 일정한 $\theta^{\mu\nu}(x)$로 일관되게 확장됨을 보장한다.