[논문 리뷰] Construction and Count of Boolean Functions of an Odd Number of Variables with Maximum Algebraic Immunity

Na Li, Wen‐Feng Qi|ArXiv.org|2006. 05. 30.

Coding theory and cryptography참고 문헌 12인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 홀수 $ n $ 에 대해 $ n $-변수 부울 함수 중 최대 대수적 면역을 갖는 모든 함수를 생성하는 구축 방법을 제시한다. 문제는 $ 2^{n-1} \times 2^{n-1} $ 구조를 가진 행렬 내에서 가역 부분행렬을 찾는 것으로 변환된다. 이는 이러한 함수의 수가 $ 2^{2^{n-1}} $ 를 초과함을 증명하여, 이들의 풍부함을 입증하고 이 클래스의 완전한 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

Algebraic immunity has been proposed as an important property of Boolean functions. To resist algebraic attack, a Boolean function should possess high algebraic immunity. It is well known now that the algebraic immunity of an $n$-variable Boolean function is upper bounded by $\left\lceil {\frac{n}{2}} ight ceil $. In this paper, for an odd integer $n$, we present a construction method which can efficiently generate a Boolean function of $n$ variables with maximum algebraic immunity, and we also show that any such function can be generated by this method. Moreover, the number of such Boolean functions is greater than $2^{2^{n-1}}$.

연구 동기 및 목표

• 홀수 $ n $ 인 경우 $ n $-변수 부울 함수 중 최대 대수적 면역을 갖는 모든 함수를 완전하고 효율적으로 구축하는 방법을 개발하기 위해.
• 이러한 부울 함수의 정확한 수를 규명하여 이전 문헌에서 이들의 수에 대한 격차를 메우기 위해.
• 최대 대수적 면역을 갖는 모든 부울 함수가 제안된 방법에 의해 생성될 수 있음을 보여주어 완전성을 확립하기 위해.
• 이러한 함수들을 체계적으로 생성하고 열거할 수 있는 프레임워크를 제공하여 암호 설계에 유용하게 만들기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 기저 함수 $ G_n $ 에서 유도된 $ 2^{n-1} \times 2^{n-1} $ 행렬 $ W(G_n) $ 내에서 $ k \times k $ 가역 부분행렬을 식별하는 것으로, 최대 대수적 면역을 갖는 함수를 찾는 문제를 축소한다.
• 부울 함수의 대수적 정규형(ANF)과 진리표 표현을 사용하여, $ \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil - 1 $ 차수 이하의 단항식에 대응하는 벡터 $ v(X) $ 를 정의한다.
• 건설 과정은 진리표에서 $ k $ 개의 온셋 및 $ k $ 개의 오프셋 포인트를 선택한 후, $ W(G_n) $ 내에서 선택된 열 벡터들의 일차독립성을 확보하기 위해 가우스 소거법을 사용한다.
• 가역 부분행렬 조건에 기반하여, $ G_n $ 의 출력을 $ k $ 개의 온셋 및 $ k $ 개의 오프셋 포인트에서 뒤집음으로써 새로운 함수 $ f_{(i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots,j_k)} $ 를 정의한다.
• 함수 $ f $ 와 $ f \oplus 1 $ 사이의 이중성 관계를 활용하여, 중복을 방지하기 위해 $ k $ 의 범위를 $ 1 \leq k \leq 2^{n-2} $ 로 제한한다.
• 이러한 함수의 수가 $ W(G_n) $ 내의 $ k \times k $ 가역 부분행렬의 수와 같음을 보이며, 이 수가 $ 2^{2^{n-1}} $ 를 초과함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 $ n $ 인 경우, 모든 $ n $-변수 부울 함수 중 최대 대수적 면역을 갖는 함수들을 체계적으로 어떻게 구축할 수 있는가?
• RQ2 이러한 함수의 정확한 수는 얼마이며, 이 수는 $ n $ 과 어떻게 변화하는가?
• RQ3 최대 대수적 면역을 갖는 모든 부울 함수가 하나의 통합된 구축 방법에 의해 생성될 수 있는가?
• RQ4 진리표 및 관련 행렬 $ W(G_n) $ 의 어떤 구조적 성질이 최대 대수적 면역을 결정하는가?

주요 결과

• 홀수 $ n $ 에 대해 $ n $-변수 부울 함수 중 최대 대수적 면역을 갖는 함수의 수는 $ 2^{2^{n-1}} $ 를 초과한다. 이는 이러한 함수들이 매우 풍부함을 시사한다.
• 제안된 방법은 완전하다: 최대 대수적 면역을 갖는 모든 $ n $-변수 부울 함수는 제안된 알고리즘에 의해 생성될 수 있다.
• 이 방법은 문제를 $ 2^{n-1} \times 2^{n-1} $ 행렬 $ W(G_n) $ 내에서 $ k \times k $ 가역 부분행렬을 찾는 것으로 축소하며, 이는 작은 $ k $ 에 대해 계산적으로 실현 가능하다.
• 특히 $ k = 1 $ 인 경우, 해당 구성은 해당 열 벡터가 1을 갖는 단일 온셋 및 단일 오프셋 포인트를 선택하는 것으로 단순화되어 효율적인 생성이 가능하다.
• 이 방법은 보완에 대해 대수적 면역 성질을 유지하므로, $ f $ 와 $ f \oplus 1 $ 이 동일하게 취급된다.
• 결과적으로, 가역 부분행렬의 존재성과 최대 대수적 면역을 갖는 함수의 존재성 사이에 직접적인 대응 관계가 확립된다.