[논문 리뷰] Construction and enumeration for self-dual cyclic codes of even length over $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$

Yuan Cao, Yonglin Cao외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 14.

Coding theory and cryptography참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 체 고리 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 짝수 길이 $2^s n$ 의 자기수반 순환 코드의 완전한 대수적 구조와 수량을, $x^N - 1$ 의 인수분해와 추적 역함수를 기반으로 하는 재귀적 업그레이드 방법을 사용하여 제공한다. 주요 기여는 길이 $2^s n$ 에서의 자기수반 순환 코드의 수를 계산하는 닫힌 형태의 공식을 도출한 것으로, 그 결과 그레이 사상에 의해 $\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 자기수반 및 $2$-준순환 코드를 체계적으로 생성할 수 있게 되었다.

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_{2^m}$ be a finite field of cardinality $2^m$, $R=\mathbb{F}_{2^m}+u\mathbb{F}_{2^m}$ $(u^2=0)$ and $s,n$ be positive integers such that $n$ is odd. In this paper, we give an explicit representation for every self-dual cyclic code over the finite chain ring $R$ of length $2^sn$ and provide a calculation method to obtain all distinct codes. Moreover, we obtain a clear formula to count the number of all these self-dual cyclic codes. As an application, self-dual and $2$-quasi-cyclic codes over $\mathbb{F}_{2^m}$ of length $2^{s+1}n$ can be obtained from self-dual cyclic code over $R$ of length $2^sn$ and by a Gray map preserving orthogonality and distances from $R$ onto $\mathbb{F}_{2^m}^2$.

연구 동기 및 목표

• 유한 체 고리 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 짝수 길이의 자기수반 순환 코드에 대한 완전한 분류와 명시적 구조를 제공하는 것.
• 길이 $2^s n$ 에서의 서로 다른 자기수반 순환 코드의 수를 계산하는 닫힌 형태의 공식을 도출하는 것.
• 그레이 사상에 의해 $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 자기수반 순환 코드로부터 $\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 자기수반 및 $2$-준순환 코드를 체계적으로 생성하는 방법을 확립하는 것.
• $\mathbb{F}_2 + u\mathbb{F}_2$ 위에서의 이전 결과를 더 일반적인 고리 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 로 확장하여 짝수 길이의 순환 및 상수순환 코드에 대해 일반화하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 $\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 $x^N - 1$ 을 기약 인수로 분해하는 데 기반한 재귀적 업그레이드 접근법을 사용하며, 특히 $n$ 이 홀수인 경우 $N = 2^s n$ 의 경우에 중점을 둔다.
• 추적 역함수 구조를 도입한다: $\mathcal{W}^{(2,s;k)}_{(\beta_0,\dots,\beta_{k-1})} = x^{-(4+k)} \cdot \operatorname{Tr}^{-1}(x^{4+k} \cdot \delta^{(k)}_{(\beta_0,\dots,\beta_{k-1})}(x))$, 여기서 $\delta^{(k)}$ 는 $f_2(x)$ 의 거듭제곱 모듈로에서 특정 합동식을 만족하는 다항식이다.
• 이 구조는 단계적으로 진행된다: 각 $k$ 에 대해, 이전 단계의 값과 $f_2(x)^k$ 를 포함하는 합동식 시스템을 풀어 $\mathcal{W}^{(2,s;k)}_{(\beta_0,\dots,\beta_{k-1})}$ 를 계산한다.
• 이 방법은 고리 $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 의 구조와 $\phi: R \to \mathbb{F}_{2^m}^2$ 의 동형사상에 의존하며, 이는 그레이 사상 하에서 이중성과 무게 분포를 유지한다.
• 알고리즘은 $f_2(x)^k$ 모듈로에서 요구되는 합동 관계를 만족하는 $\delta^{(k)}$ 다항식을 재귀적으로 구함으로써 모든 해를 계산하며, 자기수반 조건이 유지되도록 보장한다.
• 최종 코드는 $\Omega_{2,s} = \sum_{k=0}^{3} \beta_k(x) f_2(x)^k$ 로 표현되며, $\beta_k(x)$ 는 사전에 계산된 집합 $\mathcal{W}^{(2,s;k)}$ 에서 선택된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 체 고리 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 짝수 길이 $2^s n$ 의 자기수반 순환 코드를 어떻게 명시적으로 구조화할 수 있는가?
• RQ2 고리 $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 길이 $2^s n$ 의 서로 다른 자기수반 순환 코드의 정확한 수는 얼마인가?
• RQ3 그레이 사상은 어떻게 $R$ 위에서 자기수반 코드를 $\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 자기수반 및 $2$-준순환 코드로 올릴 수 있는가?
• RQ4 어떤 대수적 구조가 추적 역함수와 다항식 합동식을 통해 이러한 코드의 재귀적 구조를 가능하게 하는가?
• RQ5 이 방법은 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 형식의 유한 체 고리 위에서의 다른 짝수 길이 순환 코드로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $n$ 이 홀수인 경우, 고리 $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 길이 $2^s n$ 의 모든 자기수반 순환 코드에 대한 완전하고 명시적인 구조를 재귀적 추적 역함수 방법을 사용하여 제공한다.
• 이러한 자기수반 순환 코드의 수를 계산하는 닫힌 형태의 공식이 유도되었으며, 이는 $f_2(x)$ 의 거듭제곱 모듈로에서 다항식 합동식의 해의 수에 기반한다.
• $s=2$, $m=1$, $n=1$ 인 경우, 구조는 $\Omega_{2,4}$ 를 생성하며, 총 $16$ 개의 원소를 포함한다: $\beta_0 = 0$ 분지에서 $8$ 개와 $\beta_0 = 1+x$ 분지에서 $8$ 개이다.
• 그레이 사상 $\phi$ 는 이중성과 무게 분포를 유지하므로, 길이 $N$ 의 $R$ 위에서 자기수반 순환 코드는 모두 길이 $2N$ 의 $\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 자기수반 $2$-준순환 코드로 사상된다.
• 이 구조는 효과적이고 체계적이다: 각 단계 $k$ 에서, 추적 역함수와 다항식 업그레이드를 사용하여 $\mathcal{W}^{(2,s;k)}$ 가 재귀적으로 계산되며, 모든 해가 포괄됨을 보장한다.
• 이 방법은 이전에 $\mathbb{F}_2 + u\mathbb{F}_2$ 위에서의 상수순환 및 순환 코드에 대한 결과를 더 큰 고리 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 로 일반화하여, 더 큰 유한체 위에서의 코드 적용 가능성을 확장한다.