[논문 리뷰] Construction of a blow-up solution for a perturbed nonlinear heat equation with a gradient and a non-local term

Bouthaina Abdelhedi, Hatem Zaag|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 14.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 30인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유사성 변수와 스펙트럼 분석을 사용하여 기울기 항과 비국소 항을 모두 포함한 변형된 비선형 열방정식에 대해 폭발 해를 구축한다. 해는 유한 시간 내에 폭발하며, 표준 비선형 열방정식의 경우와 정확히 일치하는 프로파일을 취한다. 이는 외부 편항이 존재하더라도 유지되며, 폭발 시간 근처에서 해와 그 기울기의 날카러운 공간 감쇠 추정을 제공한다.

ABSTRACT

We consider in this paper a perturbation of the standard semilinear heat equation by a term involving the space derivative and a non-local term. We prove the existence of a blow-up solution, and give its blow-up profile. Our proof relies on the following method: we linearize the equation (in similarity variables) around the expected profile, then, we control the nonpositive directions of the spectrum thanks to the decreasing properties of the kernel. Finally, we use a topological argument to control the positive directions of the spectrum.

연구 동기 및 목표

• 표준 비선형 열방정식의 폭발 해 존재성을 기울기 항과 비국소 항에 의해 페르튜브된 반선형 열방정식에 대해 확립하는 것.
• 해의 폭발 프로파일을 규명하고, 이가 표준 비선형 열방정식의 보편적 프로파일로 수렴함을 보이는 것.
• 기울기 항과 비국소 항이 동시에 작용하는 복합 편항 하에서 해 구축 방법의 안정성과 강건성을 분석하는 것.
• 폭발 시간 근처 꼬리 영역에서 해와 그 기울기의 날카로운 공간 감쇠 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• 기대되는 폭발 프로파일 주변에서 해를 선형화하고, 선형화된 연산자의 스펙트럼 성질을 연구하기 위해 유사성 변수를 사용한다.
• 선형화된 연산자와 관련된 커널의 감쇠 성질을 이용해 음의 스펙트럼 방향을 제어한다.
• 해가 프로파일 주변에서 안정성을 확보하기 위해 양의 스펙트럼 방향을 제어하기 위해 위상적 추론을 적용한다.
• 해와 그 기울기를 꼬리 영역에서 제어하기 위해 가중치 $ (1 + |x|^\beta) $를 가진 가중치 리만-보흐너 공간 $W^{1,∞}_{\beta}(\mathbb{R}^N)$을 사용한다.
• 적절한 함수 공간에서 고정점 추론을 적용하여 원하는 유계 조건을 만족하는 해의 존재성을 증명한다.
• 기울기 항과 비국소 적분 항을 포함한 비선형 항을 가중치 $L^\infty$ 노름과 $p$, $q$, $\beta$에 대한 가정을 통해 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 비선형 열방정식에 대한 고전적 폭발 프로파일 구축 기법을 기울기 항과 비국소 항이 모두 존재하는 방정식으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 기울기 항과 비국소 적분 항의 존재가 해의 폭발 프로파일과 공간에서의 감쇠 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 해가 비편항이 없는 경우와 동일한 프로파일로 폭발하는 데 필요한 $p$, $q$, $\mu$의 조건은 무엇인가?
• RQ4 폭발 시간 근처 꼬리 영역에서 해와 그 기울기의 공간 감쇠 추정은 얼마나 날카로워질 수 있는가?
• RQ5 기울기 항과 비국소 비선형성의 병합된 영향 하에서 해 구축 방법은 강건한가?

주요 결과

• 해 $u(x,t)$는 원점에서 유한 시간 $T$에 폭발하며, 폭발 프로파일이 보편적 프로파일 $f(z) = (p-1 + \frac{(p-1)^2}{4p}|z|^2)^{-1/(p-1)}$과 일치한다.
• 다음과 같은 유계 조건을 만족한다: $|u(x,t) - (T-t)^{-1/(p-1)}f(\frac{x}{\sqrt{(T-t)|\log(T-t)|}})| \leq \frac{C}{1 + (\frac{|x|^2}{T-t})^{\beta/2}} \frac{(T-t)^{-1/(p-1)}}{|\log(T-t)|^{(1-\beta)/2}}$ ($0 < \beta < \frac{2}{p-1}$).
• 기울기 항에 대해 유사한 추정이 성립한다: $|\nabla u(x,t) - \frac{(T-t)^{-1/2 - 1/(p-1)}}{\sqrt{|\log(T-t)|}} \nabla f(\cdots)| \leq \frac{C}{1 + (\frac{|x|^2}{T-t})^{\beta/2}} \frac{(T-t)^{-1/2 - 1/(p-1)}}{|\log(T-t)|^{(1-\beta)/2}}$.
• 만일 $|x| \geq (T-t)^{1/2} |\log(T-t)|^{\frac{1}{2}(1 + (\frac{2}{p-1} - \beta)^{-1})}$ 이면, 해는 $|u(x,t)| \leq \frac{C}{|x|^\beta}$ 로 감쇠하며, 이는 꼬리 영역에서의 제어가 향상되었음을 보여준다.
• 해 구축은 $p > 3$, $\frac{N}{2}(p-1)+1 < q < \frac{N}{2}(p-1) + \frac{p+1}{2}$, $\mu \in \mathbb{R}$ 를 만족하는 매개변수 조건 하에서 유효하며, $\beta$ 는 $\mu$ 에 따라 선택된다.
• 이전 연구들(예: Merle와 Zaag, 1998)에 비해 공간 꼬리 영역에서 더 날카로운 감쇠 추정을 제공함으로써, 기존 결과를 개선한다.