[논문 리뷰] Construction of combinatorial manifolds with the prescribed sets of links of vertices

Alexander A. Gaifullin|arXiv (Cornell University)|2008. 01. 30.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단체 순환의 특이점을 해결하여 주어진 정점 링크 이somorphism 클래스 집합을 갖는 방향성 있는 조합 맨폴드를 구성한다. 임의의 균형 잡힌 방향성 있는 조합 구면 집합(역방향에 대해 닫혀 있음)은 쌍 frac{(Z, -Z)}를 추가한 후 조합 맨폴드의 링크 집합으로 실현 가능하며, 이는 국소 조합 공식을 통해 유리 피он트리니 클래스의 명시적 실현과 링크 변환 frac{\mathcal{L}}의 역 문제 해결을 가능하게 한다.

ABSTRACT

To each oriented closed combinatorial manifold we assign the set (with repetitions) of isomorphism classes of links of its vertices. The obtained transformation L is the main object of study of the present paper. We pose a problem on the inversion of the transformation L. We shall show that this problem is closely related to N.Steenrod's problem on realization of cycles and to the Rokhlin-Schwartz-Thom construction of combinatorial Pontryagin classes. It is easy to obtain a condition of balancing that is a necessary condition for a set of isomorphism classes of combinatorial spheres to belong to the image of the transformation L. In the present paper we give an explicit construction providing that each balanced set of isomorphism classes of combinatorial spheres gets into the image of L after passing to a multiple set and adding several pairs of the form (Z,-Z), where -Z is the sphere Z with the orientation reversed. This construction enables us, for a given singular simplicial cycle of a space R, to construct explicitly a combinatorial manifold M and a mapping $ϕ:M o R$ such that $ϕ_*[M]=r[ξ]$ for some positive integer r. The construction is based on resolving singularities of the cycle $ξ$. We give applications of our main construction to cobordisms of manifolds with singularities and cobordisms of simple cells. In particular, we prove that every rational additive invariant of cobordisms of manifolds with singularities admits a local formula. Another application is the construction of explicit (though inefficient) local combinatorial formulae for polynomials in the rational Pontryagin classes of combinatorial manifolds.

연구 동기 및 목표

• 변환 frac{\mathcal{L}}의 역 문제를 해결하기 위해, 각 방향성 있는 조합 맨폴드에 대해 그 정점 링크의 이somorphism 클래스 다중집합을 할당하는 변환 frac{\mathcal{L}}의 역 문제를 해결한다.
• 주어진 다중집합이 어떤 조합 맨폴드의 링크 집합으로서 나타나는 조건을 설정한다.
• 균형 잡힌 다중집합의 모든 조합 구면을 방향성 반전 쌍 frac{(Z, -Z)}를 추가한 후 조합 맨폴드의 링크 집합으로 실현할 수 있는 명시적 구성 방법을 제공한다.
• 특이점을 갖는 맨폴드의 코버디즘에 적용하고, 조합 맨폴드의 유리 피온트리니 클래스에 대한 국소 조합 공식을 유도한다.

제안 방법

• 정점 링크의 이somorphism 클래스 집합으로 생성된 자유 아벨군의 몫으로서, frac{\mathcal{T}_n}를 정의하며, 관계 frac{Y + (-Y) = 0}을 통해 정의되며, 미분 frac{d}를 갖는 체인 복합체를 형성한다.
• 맨폴드의 정점 링크 합을 frac{\mathcal{T}_n}에 할당하는 변환 frac{\mathcal{L}_{\mathcal{T}}}를 사용하여 역 문제를 단순화한다.
• 특이 단체 순환 frac{\xi}의 특이점을 해결함으로써 주어진 링크 다중집합을 실현하는 맨폴드를 구성한다. 이 과정은 특이 단체를 조합 구면으로 대체하고, 일치하는 링크를 따라 붙이는 방식으로 이루어진다.
• 링크에 대한 함수 frac{f}에서 유도된 선형 방정식계의 해로써 조합 구면 frac{Y}에 대해 코체인 frac{h(Y)}를 정의하며, 값의 제곱합을 최소화한다.
• 피온트리니 클래스의 다항식에 대한 국소 공식을 조합하기 위해, 비결합, 비교환적 곱셈 frac{\diamond}를 코체인에 도입한다.
• 체인 복합체 frac{\mathcal{T}^*}의 코homology에서 frac{\alpha^*}가 동형사상임을 증명하여, frac{g(Y)}에 대한 선형 방정식계의 해가 존재함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 방향성 있는 조합 구면의 다중집합이 어떤 방향성 있는 조합 맨폴드의 정점 링크 집합으로서 나타나는가?
• RQ2 모든 균형 잡힌 다중집합의 조합 구면( frac{Z \mapsto -Z}에 대해 닫혀 있음)은 쌍 frac{(Z, -Z)}를 추가한 후 조합 맨폴드의 링크 집합으로 실현 가능한가?
• RQ3 주어진 조합 맨폴드의 피온트리니 클래스에 대한 유리 다항식은 국소 조합 공식으로 실현 가능한가?
• RQ4 주어진 특이 순환 frac{\xi}에 대해, 조합 맨폴드 frac{M}과 사상 frac{\varphi: M \to R}를 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가? 이때 frac{\varphi_*[M] = r[\xi]}가 성립한다.

주요 결과

• 모든 균형 잡힌 방향성 있는 조합 구면의 이somorphism 클래스 다중집합은 다중집합으로 전환하고 쌍 frac{(Z, -Z)}를 추가한 후 어떤 방향성 있는 조합 맨폴드의 링크 집합으로 나타난다.
• 이 구성은 특이점을 갖는 맨폴드의 코버디즘의 모든 유리 덧셈 불변량을 국소 공식을 통해 명시적으로 실현할 수 있게 한다.
• 코체인에 대한 곱셈 frac{\diamond}는 코homology frac{\mathcal{T}^*(\mathbb{Q})}에 잘 정의된 곱셈을 유도하며, 이는 유리 피온트리니 클래스의 환 구조와 일치한다.
• frac{\alpha^*}가 동형사상임을 증명하여, frac{\mathcal{T}^n(\mathbb{Q})}의 모든 코사이클이 frac{\mathcal{W}^n(\mathbb{Q})}의 코사이클로 올라감을 보장하며, 이는 frac{g(Y)}에 대한 방정식계의 해가 존재함을 보장한다.
• 구면 frac{Y}에서 frac{f_1 \diamond f_2}의 값을 계산하는 절차는, 고차원-1 및 고차원-k 단체의 링크 자료만을 사용하여 선형 방정식계를 푸는 것으로 축소된다.
• 이 구성은 조합 맨폴드의 유리 피온트리니 클래스에 대한 다항식에 대해 명시적이지만 비효율적인 국소 조합 공식을 제공한다.