[논문 리뷰] Construction of Complete Complementary Codes over Small Alphabet

Palash Sarkar, Chunlei Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 21.

Coding theory and cryptography인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 임의의 길이를 가진 완전 보완 코드(CCCs)의 새로운 다변수 함수 기반 구성법을 제안한다. 이 방법은 1보다 큰 모든 정수 길이를 커버하며, 2차 일반화 불리안 함수의 일반화를 통해 소형 알파벳에서 직접적이고 효율적인 CCC 생성을 가능하게 하여 이전의 2의 거듭제곱 길이에 국한된 구성 방식의 한계를 극복한다.

ABSTRACT

Complete complementary codes (CCCs) play a vital role not only in wireless communication, particularly in multicarrier systems where achieving an interference-free environment is of paramount importance, but also in the construction of other codes that necessitate appropriate functions to meet the diverse demands within today's landscape of wireless communication evaluation. This research is focused on the area of constructing $q$-ary functions for both of {traditional and spectrally null constraint (SNC) CCCs}\footnote{When no codes in CCCs having zero components, we call it as traditonal CCCs, else, we call it as SNC-CCCs in this pape.} of flexible length, set size and alphabet. We construct traditional CCCs with lengths, defined as $L = \prod_{i=1}^k p_i^{m_i}$, set sizes, defined as $K = \prod_{i=1}^k p_i^{n_i+1}$, and an alphabet size of $q=\prod_{i=1}^k p_i$, such that $p_1

연구 동기 및 목표

• 기존 문헌에서 임의의 길이를 가진 완전 보완 코드(CCCs)에 대한 직접적 구성법이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 반복적이거나 간접적인 수열 연산을 피함으로써 CCCs의 효율적인 하드웨어 생성을 가능하게 하기 위해.
• 특히 실용적인 무선 통신 및 신호 처리 시스템에서 2의 거듭제곱 길이를 초월한 CCCs의 적용 가능성을 넓히기 위해.
• 제안된 CCCs와 새로 정의된 선형 코드 간의 연결 고리를 구축하여 향후 이론적 및 실용적 탐구를 가능하게 하기 위해.
• 기존의 일반화 불리안 함수 및 페라유니터리 행렬 기반 구성법을 일반화하여 임의의 복합 길이를 지원하기 위해.

제안 방법

• 2차 일반화 불리안 함수 기반의 다변수 함수 프레임워크를 도입하여 CCCs를 생성한다.
• 수학적 귀납법을 활용하여 소수 거듭제곱 길이에서부터 $\prod_{i=1}^{k}p_i^{m_i}$ 형태의 복합 길이로의 구성 확장을 수행한다.
• 집합 크기를 $\prod_{i=1}^{k}p_i^{n_i}$로 정의하여 1보다 큰 모든 정수를 커버함으로써 코드북 크기의 완전한 유연성을 확보한다.
• 알파벳 크기 $\lambda$를 결정하기 위해 소수 $p_1, \dots, p_k$의 최소공배수를 사용하여 코드 구성에서 단계적 유연성을 확보한다.
• 새로 정의된 선형 코드 $\mathcal{C}_k(\lambda, 2)$의 코스터 대표를 통해 CCCs를 유도함으로써 오류 수정 코드 이론과의 연결 고리를 형성한다.
• 제안된 구성법이 $k=1$ 및 $p_1=2$일 때 골레이-데이비스-제드워브(Golay-Davis-Jedwab, GDJ) 수열 생성기로 축소됨을 입증하여 기존 결과와의 일致성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1보다 큰 모든 정수 길이에 대해 완전 보완 코드의 직접적 구성이 가능할 수 있는가?
• RQ2 임의의 길이와 다양한 집합 크기를 가진 CCCs를 생성하기 위해 다변수 함수를 체계적으로 설계할 수 있는가?
• RQ3 제안된 CCC 구성법과 새로 정의된 선형 코드 $\mathcal{C}_k(\lambda, r)$ 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 비직접적이거나 반복적인 방법에 비해 더 적은 저장 용량과 계산 복잡도로 효율적인 하드웨어 생성을 지원할 수 있는가?
• RQ5 선형 코드 $\mathcal{C}_k(\lambda, 2)$에 대해 새로운 보완 수열과 더 큰 코드북을 생성할 수 있는 다른 코스터 대표가 존재하는가?

주요 결과

• 제안된 구성법은 임의의 양의 정수 $k$, $m_i$, 소수 $p_i$에 대해 길이 $\prod_{i=1}^{k}p_i^{m_i}$를 가진 CCCs를 생성할 수 있으며, 1보다 큰 모든 정수를 커버한다.
• 집합 크기는 $\prod_{i=1}^{k}p_i^{n_i}$로 표현되며, 이 역시 1보다 큰 모든 정수를 커버하여 코드북 차원의 완전한 유연성을 확보한다.
• 알파벳 크기는 $\mathbb{Z}_\lambda$이며, $\text{lcm}(p_1, \dots, p_k) \mid \lambda$ 조건을 만족함으로써 코드 구성에서 단계적 유연성을 확보한다.
• 제안된 구성법이 $k=1$ 및 $p_1=2$일 때 골레이-데이비스-제드워브(Golay-Davis-Jedwab, GDJ) 수열 생성기로 축소됨을 입증하여 기존 결과와의 일致성을 확인한다.
• 복잡한 수열 연산을 피하고 간접적인 방법(예: 크로네커 곱 또는 PU 행렬 분해)에 비해 더 빠르고 효율적인 하드웨어 생성이 가능하다.
• 제안된 CCCs와 선형 코드 $\mathcal{C}_k(\lambda, 2)$ 간의 연결 고리가 확립되었으며, 보완 수열은 이 코드의 특정 코스터 대표에서 유도된다.