[논문 리뷰] Construction of directed strongly regular graphs using finite incidence structures

Oktay Ölmez, Sung‐Yell Song|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 28.

Finite Group Theory Research참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한한 인cidense 구조를 사용하여 새로운 무한한 가닥 방향 강한 정규 그래프의 가닥을 구성한다. 특히, 그룹 나누어진 디자인의 비접촉 점-블록 쌍과 부분 기하학의 반기호를 이용한다. 주요 기여는 이전에 가능성이 있었지만 구축되지 않았던 매개변수 집합들, 예를 들어 (36,12,5,2,5), (54,18,7,4,7), (72,24,10,4,10), (96,24,7,3,7), (108,36,14,8,14), 그리고 (108,36,15,6,15)를 조합적 구성 방법을 통해 존재함을 입증함으로써 그 존재성을 보여준다.

ABSTRACT

We use finite incident structures to construct new infinite families of directed strongly regular graphs with parameters \[(l(q-1)q^l,\ l(q-1)q^{l-1},\ (lq-l+1)q^{l-2},\ (l-1)(q-1)q^{l-2},\ (lq-l+1)q^{l-2})\] for integers $q$ and $l$ ($q, l\ge 2$), and \[(lq^2(q-1),\ lq(q-1),\ lq-l+1,\ (l-1)(q-1),\ lq-l+1)\] for all prime powers $q$ and $l\in \{1, 2,..., q\}$. The new graphs given by these constructions have parameters $(36, 12, 5, 2, 5)$, $(54, 18, 7, 4, 7)$, $(72, 24, 10, 4, 10)$, $(96, 24, 7, 3, 7)$, $(108, 36, 14, 8, 14)$ and $(108, 36, 15, 6, 15)$ listed as feasible parameters on "Parameters of directed strongly regular graphs," at ${http://homepages.cwi.nl/^\sim aeb/math/dsrg/dsrg.html}$ by S. Hobart and A. E. Brouwer. We review these constructions and show how our methods may be used to construct other infinite families of directed strongly regular graphs.

연구 동기 및 목표

• 비접촉 점-블록 쌍과 반기호와 같은 유한한 인cidense 구조를 사용하여 새로운 무한한 가닥 방향 강한 정규 그래프의 가닥을 구성한다.
• 이전에 목록에 올라가 있었지만 아직 구축되지 않은 가닥 방향 강한 정규 그래프의 매개변수 집합의 가능성에 대해 입증한다.
• 특히 반기호를 활용하여 나누어진 디자인과 부분 기하학을 이용해 기존의 구성 방법을 확장하여 새로운 그래프 가닥을 생성한다.
• 향후 인cidense 구조가 가닥 방향 강한 정규 그래프의 구성에 어떻게 활용될 수 있을지에 대한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 정수 q ≥ 2 및 l ≥ 2에 대해 그룹 나누어진 디자인 GD(l, q^{l-2}, q; ql)의 비접촉 점-블록 쌍 집합 위에 방향 강한 정규 그래프를 구성한다.
• x ∈ S'인지 여부에 따라 쌍 (x,S)와 (x',S') 사이에 간선을 정의함으로써 특정 매개변수를 가진 방향 그래프를 형성한다.
• 아핀 평면에서 유도된 부분 기하학의 반기호를 사용하여 두 번째 가닥 방향 강한 정규 그래프 가닥을 구성하며, 매개변수는 (lq²(q−1), lq(q−1), lq−l+1, (l−1)(q−1), lq−l+1)이다.
• l개의 서로소인 q개 요소를 가진 부분집합으로 구성된 분할 기반의 인cidense 구조를 적용하여 두 가지 추가 가닥을 생성한다. 하나는 매개변수 (ql(l−1), q(l−1), q, 0, q)를 가지며, 다른 하나는 (ql(l−1), 2q(l−1)−1, ql−1, ql−2, 2q)를 가진다.
• 이웃 행렬 조건 A² = tI + λA + μ(J−I−A) 및 JA = AJ = kJ을 사용하여 가닥 방향 강한 정규 그래프 성질을 검증한다.
• Proposition 1.1을 활용하여 J_m와의 텐서 곱을 통해 기존 그래프를 스케일링함으로써 더 큰 그래프의 매개변수 집합을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그룹 나누어진 디자인의 비접촉 점-블록 쌍을 사용하여 새로운 무한한 가닥 방향 강한 정규 그래프의 가닥을 구성할 수 있는가?
• RQ2 특히 아핀 평면에서 유도된 부분 기하학의 반기호는 가능성이 있었지만 이전에 구축되지 않은 매개변수를 가진 새로운 가닥 방향 강한 정규 그래프를 제공하는가?
• RQ3 예를 들어 점과 블록의 분할된 집합과 같은 열악한 인cidense 구조는 새로운 가닥 방향 강한 정규 그래프의 가닥을 생성할 수 있는가?
• RQ4 플래그를 초월하여 나누어진 디자인과 부분 기하학과 같은 인cidense 구조가 가닥 방향 강한 정규 그래프의 구성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 조합적 인cidense 체계를 사용하여 기존의 구성 방법을 어떻게 확장하거나 일반화하여 새로운 매개변수 집합을 실현할 수 있는가?

주요 결과

• GD(l, q^{l-2}, q; ql)의 비접촉 점-블록 쌍을 사용한 구성은 정수 q ≥ 2 및 l ≥ 2에 대해 매개변수 (l(q−1)q^l, l(q−1)q^{l−1}, (lq−l+1)q^{l−2}, (l−1)(q−1)q^{l−2}, (lq−l+1)q^{l−2})를 가진 가닥 방향 강한 정규 그래프를 생성한다.
• 이 구성은 q=3, l=2일 때 매개변수 집합 (36,12,5,2,5)의 가능성을 실현하며, q=2, l=4일 때는 (96,24,7,3,7)의 가능성을 실현한다.
• 순서 q인 아핀 평면에서 유도된 부분 기하학의 반기호를 사용하면 매개변수 (lq²(q−1), lq(q−1), lq−l+1, (l−1)(q−1), lq−l+1)를 가진 그래프를 구성할 수 있으며, q=3, l=2일 때 (54,18,7,4,7)를 실현하고, Proposition 1.1을 통해 (108,36,14,8,14)도 실현한다.
• 세 번째 구성은 분할된 집합 기반으로 매개변수 (ql(l−1), q(l−1), q, 0, q)를 가진 그래프를 생성하며, 이는 모든 l ≥ 2 및 q ≥ 2에 대해 유일함이 알려져 있다.
• 네 번째 구성은 매개변수 (ql(l−1), 2q(l−1)−1, ql−1, ql−2, 2q)를 가진 그래프를 생성하며, 이는 Godsil, Hobart, Martin이 이전에 구성한 가닥과 일치하지만, 새로운 인cidense 기반 방법을 통해 도출된다.
• 논문은 Hobart와 Brouwer의 데이터베이스에 나와 있는 여섯 가지 특정한 가능 매개변수 집합, 특히 (108,36,15,6,15)의 존재성을 직접 그래프를 구성함으로써 확인한다.