[논문 리뷰] Construction of eigenfunctions for scalar-type operators via Laplace averages with connections to the Koopman operator

Ryan Mohr, Igor Mezić|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 26.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 21인용 수 43

한 줄 요약

이 논문은 비유니터리이고 스칼라형 스펙트럴 연산자를 갖는 소산성 동역계에서 고유함수를 계산하기 위해 푸리에 평균의 일반화로 라플라스 평균을 도입한다. Koopman 연산자가 안정 고정점과 한계 순환에 대해 노름을 가진 링 위의 다항식 공간의 완비화에서 스펙트럴임을 입증하며, 유니터리 시스템을 넘어서 스펙트럴 이론을 확장하고 기능적 해석 방법을 통해 전역적 Koopman 모드 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper extends Yosida's mean ergodic theorem in order to compute projections onto non-unitary eigenspaces for spectral operators of scalar-type on locally convex linear topological spaces. For spectral operators with dominating point spectrum, the projections take the form of Laplace averages, which are a generalization of the Fourier averages used when the spectrum is unitary. Inverse iteration and Laplace averages project onto eigenspaces of spectral operators with minimal point spectrum. Two classes of dynamical systems --- attracting fixed points in $\mathbb{C}^{d}$ and attracting limit cycles in $\mathbb{R}^{2}$ --- and their respective spaces of observables are given for which the associated composition operator is spectral. It is shown that the natural spaces of observables are completions with an $\ell^{2}$ polynomial norm of a space of polynomials over a normed unital commutative ring. These spaces are generalizations of the Hardy spaces $H^{2}(\mathbb{D})$ and $H^{2}(\mathbb{D}^{d})$. Elements of the ring are observables defined on the attractor --- the fixed point or the limit cycle, in our examples. Furthermore, we are able to provide a (semi)global spectral theorem for the composition operators associated with a large class of dissipative nonlinear dynamical systems; any sufficiently smooth dynamical system topologically conjugate to either of the two cases above admits an observable space on which the associated Koopman operator is spectral. It is conjectured that this is generically true for systems where the basin of attraction can be properly "coordinatized".

연구 동기 및 목표

• 국소 볼록 공간에서 비유니터리이고 스칼라형 연산자에 대해 요시다의 평균ergodic 정리를 일반화한다.
• 비선형 소산성 동역계에서 Koopman 연산자의 고유함수를 구성하기 위한 기능적 해석적 프레임워크를 개발한다.
• Koopman 연산자가 스펙트럴이 되는 자연스러운 관측 가능 공간—노름을 가진 단위가 있는 교환 링 위의 다항식 링의 완비화—를 규명한다.
• 선형화 가능한 안정성 있는 동역계와 위상적으로 동치인 시스템에 대해 Koopman 연산자에 대한 (반)국소 스펙트럴 정리를 수립한다.
• 라플라스 평균과 다항식 근사법을 활용한 데이터 기반 스펙트럴 분석의 이론적 기초를 제공한다.

제안 방법

• 비유니터리 고유공간에 사영하기 위해 푸리에 평균의 일반화로 라플라스 평균을 활용하여 스펙트럴 연산자의 비유니터리 스펙트럼에 대해 처리한다.
• 관측 가능 공간을 노름을 가진 단위가 있는 교환 링 위의 다항식 링의 완비화로 구성하며, 계수는 안정기의 관측 가능 함수가 속하는 바나흐 공간에 속한다.
• 안정 고정점과 한계 순환에 관련된 Koopman 연산자에 대해 스칼라형 연산자에 대한 스펙트럴 정리를 적용한다.
• 위상적 동치를 이용해 선형화된 시스템의 스펙트럴 구조를 비선형 시스템으로 이전하며, Koopman 연산자의 스펙트럴 성질을 유지한다.
• 계수들이 복소수 ℂ 가 아니라 안정기에서의 관측 가능 함수가 속하는 바나흐 공간을 취하는 일반화된 하디 공간 프레임워크를 도입한다.
• 이산 라플라스 변환, 크릴로프 방법, 지표 함수에 대한 다항식 근사를 활용한 데이터 기반 수치적 경로를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소산성 시스템에서 비유니터리 스펙트럴 연산자의 고유함수를 구성하는 데 라플라스 평균을 사용할 수 있는가?
• RQ2 안정 고정점과 한계 순환에서 Koopman 연산자가 스펙트럴이 되는 자연스러운 관측 가능 공간은 무엇인가?
• RQ3 기능적 해석 방법을 통해 스펙트럴 분해를 유니터리 동역계를 넘어서 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 비선형 시스템의 스펙트럴 구조는 얼마나 선형화된 시스템과의 동치성과 관측 가능 함수의 다항식 완비화를 통해 복원할 수 있는가?
• RQ5 비선형 시스템에서 Koopman 연산자가 스펙트럴이 되는 조건는 무엇이며, 이를 더 넓은 범위의 소산성 시스템으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 라플라스 평균은 비유니터리 스펙트럼을 갖는 스펙트럴 연산자의 고유공간에 사영하는 데 유효한 방법을 제공하며, 유니터리 시스템에 대한 푸리에 평균 접근법을 일반화한다.
• ℂ^d에서의 안정 고정점에 대해 Koopman 연산자는 고정점에서의 관측 가능 함수가 속하는 노름을 가진 단위가 있는 교환 링 위의 다항식 공간의 완비화에서 스펙트럴이다.
• ℝ²에서의 한계 순환에 대해 관련된 Koopman 연산자는 순환 위의 함수가 속하는 바나흐 공간을 계수로 갖는 유사한 다항식 관측 가능 공간에서 스펙트럴이다.
• 관측 가능 공간은 일반화된 하디 공간으로 규명되며, 계수들이 복소수 ℂ 가 아니라 분리 가능하고 반사 가능한 바나흐 공간을 취한다.
• 안정성의 영역이 적절한 좌표화를 갖는 한, 두 모델 사례와 위상적으로 동치인 시스템에 대해 (반)국소 스펙트럴 정리를 수립한다.
• 이 논문은 유계 안정기와 좌표화 가능한 안정성 영역를 갖는 모든 경우에 대해 자연스러운 관측 가능 공간이 안정기 관측 가능 함수가 속하는 노름 링 위의 다항식의 완비화임을 추측한다.