[논문 리뷰] Construction of Exact Control for a One-Dimensional Heat Equation with Delay

D. Ya. Khusainov, Michael Pokojovy외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 22.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 하향 및 상향 차수 항에 지연이 있는 1차원 열 방정식에 대한 정확한 구동 가능성을, 제어 함수의 명시적 표현을 통해 확립한다. 단계적 이동을 통해 방정식을 변환하고 지연된 지수 함수를 활용함으로써, 저자들은 푸리에 급수 해를 유도하고, 충분한 소볼레프 정규성 조건 하에서 시스템을 원하는 최종 상태로 이끄는 제어를 구성한다. 이에 따라 해와 제어의 고전적 정규성이 보장된다.

ABSTRACT

We prove an exact controllability result for a one-dimensional heat equation with delay in both lower and highest order terms and nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions. Moreover, we give an explicit representation of the control function steering the system into a given final state. Under certain decay properties for corresponding Fourier coefficients which can be interpreted as a sufficiently high Sobolev regularity of the data, both control function and the solution are proved to be regular in the classical sense both with respect to time and space variables.

연구 동기 및 목표

• 하향 및 상향 차수 항에 이산 지연이 있는 1차원 열 방정식에 대한 정확한 구동 가능성을 확립하기 위해.
• 시스템을 주어진 최종 상태로 이끄는 제어 함수의 명시적 표현을 제공하기 위해.
• 초기, 경계 및 외부 자료의 충분한 소볼레프 정규성 조건 하에서 해와 제어가 고전적(매끄럽고 미분 가능)이 되도록 보장하기 위해.
• 지연을 가진 분포계 시스템에 대한 분석 도구를 확장하기 위해 지연된 지수 함수와 푸리에 급수 분해를 활용하기 위해.

제안 방법

• 일阶 항을 제거하기 위해 원래 방정식을 단계적 이동을 통해 변환하여 $ v(x,t) = e^{\nu x} u(x,t) $ 를 사용함으로써, 지연된 이阶 항을 포함하는 형태로 문제를 단순화한다.
• 해의 표현에서 시간 지연 동역학을 처리하기 위해 지연된 지수 함수 $ \exp_{\tau}(D,t) $ 를 도입한다.
• 해를 $ \sin(\pi n x / l) $ 에 대한 푸리에 급수로 표현하고, 지연된 지수 함수 및 초기/경계 자료를 포함하는 적분을 통해 계수를 유도한다.
• 최종 상태 조건을 만족시키기 위해 적분 방정식을 유도함으로써 제어 계수에 대한 해를 구할 수 있는 방정식을 도출한다.
• 제어 형태를 $ e^{-L_n(T-t)} $ 를 포함하는 것으로 가정함으로써 적분 방정식을 해결하고, 제어 계수에 대한 명시적 공식을 도출한다.
• 항등식 $ \int_{-\tau}^{T-\tau} \exp_{\tau}(D_n,t) dt = \frac{1}{D_n}(\exp_{\tau}(D_n,T) - 1) $ 를 사용하여 적분 방정식을 역으로 풀고 제어 계수를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하향 및 상향 차수 항에 지연이 있는 1차원 열 방정식에 대해 정확한 구동 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 시스템을 원하는 최종 상태로 이끄는 제어 함수의 명시적 표현을 구성하는 것이 가능한가?
• RQ3 자료에 대한 어떤 정규성 조건 하에서 제어와 해가 시간과 공간에서 고전적으로 유지되는가?
• RQ4 지연된 지수 함수는 분포 지연을 가진 편미분 방정식을 해결하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ5 공간 미분 계수와 상태에 모두 지연이 존재할 경우, 해와 제어의 구조는 푸리에 급수 형태로 어떻게 표현되는가?

주요 결과

• 논문은 자료의 충분한 소볼레프 정규성 조건 하에서 하향 및 상향 차수 항에 지연이 있는 1차원 열 방정식에 대해 정확한 구동 가능성을 증명한다.
• 제어 함수에 대한 명시적 공식이 $ U(x,t) = \sum_{n=1}^\infty U_n(t) \sin(\pi n x / l) $ 의 형태로 도출되었으며, $ U_n(t) = e^{-L_n(T-t)} \frac{R_n(T) D_n}{\exp_{\tau}(D_n,T) - 1} $ 이다.
• 자료의 푸리에 계수들이 충분히 빠르게 감소할 경우, 즉 고소볼레프 정규성 조건을 만족할 경우, 해와 제어가 시간과 공간에서 고전적(매끄럽고 미분 가능)임이 입증된다.
• 제어 구성은 일阶 항을 제거하기 위해 방정식을 변환하고, 지연된 지수 함수를 사용하여 지연된 편미분 방정식의 해를 표현하는 데 의존한다.
• 핵심 항등식 $ \int_{-\tau}^{T-\tau} \exp_{\tau}(D_n,t) dt = \frac{1}{D_n}(\exp_{\tau}(D_n,T) - 1) $ 는 제어에 대한 적분 방정식의 역을 구하는 데 핵심적이다.
• 최종 상태 조건은 $ R_n(T) = \Psi_n - s_{1n}(T) - s_{2n}(T) - m_n(\mu_1,\mu_2)(T) $ 를 유도하며, 이는 각 푸리에 모드에 대한 필요한 제어 진폭을 결정한다.