[논문 리뷰] Construction of Fuzzy Spaces and Their Applications to Matrix Models

Yasuhiro Abe|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 26.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 박사학위논문은 기하적 양자화와 대수적 제약 조건을 사용하여, 구체적으로 퍼지 $ℂ\mathbb{CP}^k$, $S^4$, 및 $S^8$의 퍼지 판본을 구성하고, 중력의 매트릭스 모델 및 M(atrix) 이론에 적용한다. 퍼지 $ℂ\mathbb{CP}^3$ 내에서 블록 대각 행렬로 퍼지 $S^4$를 실현함으로써, 퍼지 $S^4$를 횡방향으로 갖는 M(atrix) 이론의 새로운 브레인 해를 가능하게 하여, M-이론의 실질적인 4차원 매트릭스 모델을 제안한다.

ABSTRACT

Quantization of spacetime by means of finite dimensional matrices is the basic idea of fuzzy spaces. There remains an issue of quantizing time, however, the idea is simple and it provides an interesting interplay of various ideas in mathematics and physics. Shedding some light on such an interplay is the main theme of this dissertation. The dissertation roughly separates into two parts. In the first part, we consider a mathematical aspect of fuzzy spaces, namely, their construction. We begin with a review of the construction of fuzzy complex projective spaces CP^k (k=1,2,...) in relation to geometric quantization. We then present the construction of fuzzy S^4, utilizing the fact that CP^3 is an S^2 bundle over S^4. This method is also applicable to the case of fuzzy S^8. In the second part, we consider applications of fuzzy spaces to physics. We first consider gravitational theories on fuzzy spaces, anticipating that they may offer a novel way of regularizing spacetime dynamics. Particularly we obtain actions for gravity on fuzzy S^2 and fuzzy CP^2. We also discuss application to M(atrix) theory. Introducing extra potentials, we show that the theory has new brane solutions whose transverse directions are described by fuzzy S^4 and fuzzy CP^3. The extra potentials can be interpreted as fuzzy versions of differential forms or fluxes, which enable us to discuss compactification models of M(atrix) theory. Compactification down to fuzzy S^4 is discussed and a physically interesting matrix model in four-dimensions is proposed.

연구 동기 및 목표

• 기하적 양자화와 대수적 제약 조건을 사용하여 $ℂ\mathbb{CP}^k$, $S^4$, 및 $S^8$와 같은 퍼지 공간의 체계적인 구성 방법을 개발하는 것.
• 퍼지 $S^4$ 및 $S^8$에 대한 매트릭스-함수 대응을 제공하여 닫힘과 결합 법칙을 갖는 대수를 보장하는 것.
• 스페이스타임 역학의 정규화를 위해 퍼지 $S^2$ 및 $ℂ\mathbb{CP}^2$에서 유한 차원 매트릭스 모델을 구성하는 것.
• 추가 잠재 에너지를 도입하여 M(atrix) 이론을 확장함으로써, 횡방향이 퍼지 $S^4$ 및 $ℂ\mathbb{CP}^3$에 있는 브레인 해를 유도하는 것.
• 퍼지 $S^4$ 기하학과 매트릭스 값 미분형식을 사용하여 M(atrix) 이론의 4차원으로의 콪actification을 제안하는 것.

제안 방법

• 기하적 양자화를 통해 퍼지 $ℂ\mathbb{CP}^k$를 구성하고, 해밀턴 공간의 정칙 섹션과 기호 및 스타 곱을 정의하는 것.
• 퍼지 $ℂ\mathbb{CP}^3$에 대수적 제약 조건을 적용하여 퍼지 $S^4$를 도출하며, $S^2 \to \mathbb{CP}^3 \to S^4$의 피브레이션을 활용하는 것.
• 퍼지 $ℂ\mathbb{CP}^3$ 매트릭스 대수에 통합된 블록 대각 행렬로 퍼지 $S^4$의 좌표를 표현하는 것.
• 절단된 함수의 수를 세는 방법을 통해 퍼지 $S^4$에 대한 매트릭스-함수 대응을 확립하고, 매트릭스 연산자로의 일대일 사상이 성립함을 확인하는 것.
• 유한 차원 매트릭스 추적과 라플라스 연산자를 사용하여 퍼지 $S^2$ 및 $ℂ\mathbb{CP}^2$에서 중력의 행동을 구성하는 것.
• M(atrix) 이론에 추가 잠재 에너지를 도입하여, 퍼지 미분형식($F_{2r+1}$)의 형태로 표현함으로써, 횡방향 기하가 퍼지 $S^4$인 L5-브레인 해가 나타나도록 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 제약 조건을 사용하여 $ℂ\mathbb{CP}^3$에서 퍼지 $S^4$를 어떻게 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 퍼지 $S^4$에 대한 정확한 매트릭스-함수 대응은 무엇이며, 이것이 닫힘 대수를 보장하는 방식은 어떻게 되는가?
• RQ3 유한 차원 매트릭스를 사용하여 퍼지 $S^2$ 및 $ℂ\mathbb{CP}^2$에서 중력의 매트릭스 모델을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 M(atrix) 이론의 추가 잠재 에너지는 횡방향이 퍼지 $S^4$에 있는 브레인 해를 어떻게 유도하는가?
• RQ5 퍼지 $S^4$에 대한 콤���팩티피케이션을 통해 실질적인 4차원 매트릭스 모델의 M-이론을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 퍼지 $S^4$는 퍼지 $ℂ\mathbb{CP}^3$ 내에서 블록 대각 매트릭스 대수로서 구성되며, 좌표는 추가적인 대수적 제약 조건을 통해 실현된다.
• 퍼지 $S^4$에 대한 매트릭스-함수 대응은 여러 가지 수를 세는 방법을 통해 확립되었으며, 일대일 사상과 닫힘 결합 대수의 성립을 확인한다.
• 퍼지 $S^2$에서 중력의 행동은 유한 차원 매트릭스로 유도되었으며, 큰 $N$ 근사에서 잘 정의된 교환 법칙을 갖는다.
• 퍼지 $S^8$는 $ℂ\mathbb{CP}^3 \to \mathbb{CP}^7 \to S^8$의 피브레이션을 동일한 방식으로 구성한다.
• M(atrix) 이론의 추가 잠재 에너지가 퍼지 미분형식으로 해석될 경우, 횡방향 기하가 퍼지 $S^4$인 새로운 L5-브레인 해가 나타난다.
• 퍼지 $S^4$의 국소 좌표 (5.90)로 표현된 행동 (5.95)를 갖는 4차원 매트릭스 모델의 후보가 제안된다.