[논문 리뷰] Construction of isolated left orderings via partially central cyclic amalgamation

Tetsuya Ito|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 04.

Finite Group Theory Research참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 중심이 없는 군에서 유한 생성된 양의 원소 집합을 갖는 고립된 왼쪽 순서를 생성하는 데 새로운 구성 방법—부분적으로 중심적인 순환 합성—을 제안한다. 각각 고립된 왼쪽 순서를 갖는 두 군 $G_1$와 $G_2$를, 비중앙이면서 $<_{G}$-공결합인 원소 $z_H$를 연결자로 사용해 합성함으로써, 새로운 예를 도출한다. 이 방법은 특히 서로 다른 매개변수를 가질 경우 $2(m-1)!$ 개의 서로 다른 $G$-오빗과 $(m-1)!$ 개의 서로 다른 $\textrm{Aut}(G)$-오빗을 갖는 군을 생성한다.

ABSTRACT

We give a new method to construct isolated left orderings of groups whose positive cones are finitely generated. Our construction uses an amalgamated free product of two groups having an isolated ordering. We construct a lot of new examples of isolated orderings, and give an example of isolated left orderings having various properties which previously known isolated orderings do not have.

연구 동기 및 목표

• 군의 고립된 왼쪽 순서를 체계적으로 구성하는 일반적인 방법을 개발하는 것, 특히 양의 원소 집합이 유한 생성인 경우에 중점을 두고.
• 특히 중심이 없는 군에서 진정한 고립된 왼쪽 순서의 예가 부족한 문제를 해결하는 것.
• 기존의 구성 방법을 확장하여 합성 자유군에 비중앙이면서 공결합인 원소를 포함시키는 것.
• 고립된 순서가 군 작용과 자동사상 작용 하에서 오름의 구조를 탐색하고, 그 다양성을 수량화하는 것.

제안 방법

• 두 군 $G_1$와 $G_2$의 부분적으로 중심적인 순환 합성을 사용하며, 각각 고립된 왼쪽 순서를 갖는다.
• 한 인자 군 $H$ 내에서 비중앙이면서 $<_{G}$-공결합인 원소 $z_H$를 선택하여 합성의 연결자로 사용한다.
• 정리 1.1을 적용하여, 양의 원소 집합이 유한 생성인 고립된 왼쪽 순서를 갖는 새로운 군 $G = G_1 *_H G_2$를 구성한다.
• 곱셈에 의한 오른쪽 불변성과 $z_H$ 및 $z_H^k$에 의한 정렬 유지 조건을 활용하여 결과 양의 원소 집합의 양의 성질을 보장한다.
• 새로운 생성자를 통해 결과 군을 재표현하여, 자명한 중심과 같은 구조적 성질을 드러낸다.
• 군 $G$와 $ exit{Aut}(G)$가 $ exit{LO}(G)$에 작용하는 방식을 분석하여, 최소 양의 원소를 통해 고립된 순서의 서로 다른 오빗 수를 세는 데 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 합성 자유군을 통해 중심이 없는 군에서 고립된 왼쪽 순서를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 동일한 구성 방법으로부터 최소한 몇 개의 서로 다른 $G$-오빗의 고립된 왼쪽 순서가 유도될 수 있는가?
• RQ3 비중앙이면서 공결합인 원소의 선택이 결과 순서의 고립성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 자기사상 군 작용이 군 작용 오빗 외에 고립된 순서의 추가적인 다양성을 드러낼 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건에서 합성 과정이 고립성과 양의 원소 집합의 유한 생성성을 유지하는가?

주요 결과

• 이 구성은 고립된 왼쪽 순서를 갖는 중심이 없는 군 $H_{p,q,m,n} = \big\bracevert a,b,c \big\bracevert b^m = c^n, a^p = (bc)^q \big\}$를 생성한다.
• 군 $H_{p,q,m,n}$의 고립된 왼쪽 순서는 $\{a(bc)^{1-q}, bc^{1-n}, c\}$에 의해 생성되는 양의 원소 집합을 갖으며, 이는 유한 생성임을 확인한다.
• 무한 순환군 $m$개가 공통 원소를 공유하는 방식으로 합성된 군 $G$의 경우, 최소 $2(m-1)!$ 개의 서로 다른 $G$-오빗의 고립된 왼쪽 순서가 존재한다.
• 모든 $a_i$가 서로 다를 경우, 자동사상 군 $\textrm{Aut}(G)$는 $\textrm{LO}(G)$에 대해 최소 $(m-1)!$ 개의 서로 다른 오빗을 가지며, 이는 고립된 순서에서 유도된다.
• 이 방법은 기존의 예를 일반화한다: 두드루비나-두브로빈 순서와 $\mathbb{Z}*_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}$ 순서는 특수한 경우로 복구된다.
• 이 구성은 고립된 순서가 자명한 중심을 갖는 군에서도 존재할 수 있음을 보여주며, 이러한 군의 기존 지도에서의 빈도를 메우는 데 기여한다.