[논문 리뷰] Construction of Lyapunov functions for interconnected parabolic systems: an iISS approach

Andrii Mironchenko, Hiroshi Ito|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 12.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 파라볼릭 PDE 시스템에서 적분 입력-상태 안정성(iISS)을 확립하기 위해 소형 이득 기준과 구성 가능한 리아푸노프 함수 방법을 개발한다. 무한차원 시스템에서의 도전 과제를 해결하기 위해 상태 공간과 입력 공간을 정교하게 선택함으로써, 특히 $H^1_0$와 같은 소볼레프 공간을 사용하고, 한 부분계열이 iISS이지만 ISS가 아닌 경우에도 소형 이득 정리의 적용 범위를 확장하여, 매우 비선형적인 반응-확산 시스템에 대한 강건한 안정성 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to two issues. One is to provide Lyapunov-based tools to establish integral input-to-state stability (iISS) and input-to-state stability (ISS) for some classes of nonlinear parabolic equations. The other is to provide a stability criterion for interconnections of iISS parabolic systems. The results addressing the former problem allow us to overcome obstacles arising in tackling the latter one. The results for the latter problem are a small-gain condition and a formula of Lyapunov functions which can be constructed for interconnections whenever the small-gain condition holds. It is demonstrated that for interconnections of partial differential equations, the choice of a right state and input spaces is crucial, in particular for iISS subsystems which are not ISS. As illustrative examples, stability of two highly nonlinear reaction-diffusion systems is established by the the proposed small-gain criterion.

연구 동기 및 목표

• 비선형 파라볼릭 PDE에서 적분 입력-상태 안정성(iISS)을 확립하기 위한 리아푸노프 기반 도구를 개발하기 위해.
• 항상 ISS가 아니더라도 iISS 파라볼릭 시스템의 상호연결에 대한 안정성 기준을 제공하기 위해.
• 시간 도메인 공간 간의 불일치 문제와 무한차원 iISS 시스템에서 최대형 리아푸노프 함수의 부족함을 해결하기 위해.
• iISS이지만 ISS가 아닌 시스템을 분석할 때 적절한 상태 공간과 입력 공간(특히 소볼레프 공간)을 선택하는 것이 필수적임을 보여주기 위해.
• 유한차원 시스템에서의 소형 이득 정리를 무한차원 파라볼릭 시스템으로 확장하고, iISS 부분계열을 포함한 시스템에 적용하기 위해.

제안 방법

• 이중선형 ODE에 대한 손타그의 접근 방식을 영감으로 삼아, 비선형 파라볼릭 시스템에 대한 iISS 리아푸노프 함수를 구성한다.
• 점근적 곱의 유계성을 확보하기 위해 상태 공간과 입력 공간으로서 소볼레프 공간 $H^1_0(0,\pi)$를 사용하여 $L_p$-공간의 한계를 극복한다.
• 리아푸노프 도함수의 비선형 항을 유계화하기 위해 얀의 부등식, $Σ$-부등식, 파르카레/프리드리히스/아그몬 부등식을 적용한다.
• 소형 이득 조건을 유도하여, 한 부분계열이 오직 iISS일지라도도 상호연결된 시스템의 균일 전역 점근적 안정성(UGAS)을 보장한다.
• 구성된 리아푸노프 함수를 사용하여 UGAS를 검증하고, 아그몬 부등식을 통해 $L_\infty$-노름에서 상태의 $\mathcal{KL}$-경계를 유도한다.
• 소형 이득 조건을 만족할 경우, ISS를 보장하지 못하는 비선형성을 가진 두 개의 반응-확산 시스템에 프레임워크를 적용하여 안정성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 ISS 도구가 실패할 경우, 비선형 파라볼릭 PDE에 대해 iISS를 보장하기 위해 리아푸노프 함수를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 특히 $L_p$-공간이 부적절한 경우, iISS이지만 ISS가 아닌 파라볼릭 시스템에 대해 상태 공간과 입력 공간을 어떻게 선택해야 하는가?
• RQ3 한 부분계열이 iISS이고 다른 한 부분계열이 ISS일 경우, 소형 이득 정리를 무한차원 시스템으로 확장할 수 있으며, 리아푸노프 함수는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 파르카레, 프리드리히스, 아그몬 부등식은 비선형 항을 유계화하고 리아푸노프 분석에서 안정성을 보장하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 한 부분계열이 오직 iISS일 경우, 상호연결된 파라볼릭 시스템에서 균일 전역 점근적 안정성(UGAS)을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 소형 이득 조건이 유도되었으며, 이는 한 부분계열이 오직 iISS일지라도도 상호연결된 시스템의 균일 전역 점근적 안정성(UGAS)을 보장한다.
• 소형 이득 조건과 부분계열의 iISS 리아푸노프 함수를 사용하여 상호연결된 시스템의 리아푸노프 함수를 명시적으로 구성한다.
• 상태 공간 $X = H^1_0(0,π) \times H^1_0(0,π)$에서 안정성이 증명되었으며, 이는 소볼레프 공간이 PDE에서 비선형성과 유계 곱을 다루는 데 필수적임을 보여준다.
• 아그몬 부등식 덕분에 상태의 $L_\infty$-노름이 초기 상태 노름의 $\mathcal{KL}$-함수로 유계화되어, 점별 안정성이 보장된다.
• 이 방법은 ISS를 보장하지 못하는 두 개의 매우 비선형적인 반응-확산 시스템에 대해 iISS와 UGAS를 성공적으로 확립하였으며, 구체적인 예제를 통해 프레임워크의 타당성을 검증하였다.
• 이 프레임워크는 PDE에서 이중선형 항에 대해 $L_p$-공간의 실패를 해결하였으며, iISS 시스템의 강건한 안정성 분석을 위해 소볼레프 공간이 필수적임을 보여주었다.