[논문 리뷰] Construction of MDS Self-dual Codes over Finite Fields

Khawla Labad, Honwei Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 27.

Coding theory and cryptography참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 리드-솔로몬(GRS) 및 확장 GRS 코드를 사용하여 홀수 특성의 유한체 위에서 새로운 MDS 자기수반 코드의 클래스를 구성한다. 대칭성에 대한 대수적 기준(보조정리 2.1 및 2.2)을 적용함으로써 저자들은 이러한 코드의 알려진 매개변수 범위를 크게 확장하는 네 가지 정리를 도출하였으며, 특히 $q = r^2$인 제곱 유한체 $\mathbb{F}_{q}$의 경우 기존 연구의 243개에 비해 최대 713개의 서로 다른 코드 길이를 생성한다.

ABSTRACT

In this paper, we obtain some new results on the existence of MDS self-dual codes utilizing (extended) generalized Reed-Solomon codes over finite fields of odd characteristic. For some fixed $q$, our results can produce more classes of MDS self-dual codes than previous works.

연구 동기 및 목표

• 홀수 특성의 유한체 위에서 MDS 자기수반 코드의 존재를 기존 이론을 넘어서 확장하기 위해.
• 자기수반 조건을 만족하는 일반화 및 확장 GRS 코드를 체계적으로 구성하기 위해.
• 특히 $q = r^2$인 제곱 유한체 $\mathbb{F}_{q}$에 대해 $q$-진 MDS 자기수반 코드의 매개변수화된 클래스 수를 늘리기 위해.
• 라그랑주 보간 곱에 대한 대수적 기준을 통해 이러한 코드의 존재를 보장하는 명시적 충분 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 자기수반 조건에 대한 필요 및 충분 조건을 제공하는 보조정리 2.1 및 2.2을 활용하여 (확장) GRS 코드가 자기수반임을 판단한다. 이는 곱 $L_{\mathbf{a}}(\alpha_i)$ 의 부호에 기반한다.
• 모든 $i$에 대해 $-L_{\mathbf{a}}(\alpha_i) \in \mathbb{F}_q^{*2}$ (제곱 원소들의 곱셈군)가 되도록 $\mathbb{F}_q$ 내의 평가 점 $\mathbf{a}$ 와 가중치 $\mathbf{v}$ 를 선택한다.
• 근의 단위, $\mathbb{F}_q$ 의 부분공간, 곱셈 부분군의 잔여류와 같은 구조화된 원소 집합을 사용하여 $\mathbf{a}$ 를 정의함으로써 대칭성과 다루기 쉬운 곱 표현식을 확보한다.
• 이차 특성과 체의 자기동형사상의 성질을 적용하여 $L_{\mathbf{a}}(\alpha_i)$ 의 부호를 제어하며, 특히 $q = r^2$ 또는 $q = p^m$ 인 경우에 중점을 둔다.
• 매개변수에 대한 명시적 범위를 유도한다: $t \leq \frac{r-1}{\gcd(r-1,m)}$, $m \mid (q-1)$, 그리고 $tm$ 또는 $\frac{q-1}{2t}$ 의 기수 조건을 충족시켜 자기수반 조건을 확보한다.
• 유도된 코드가 차원 $n/2$ 를 가지며 싱글턴 경계를 충족함을 확인함으로써 MDS 및 자기수반 성질을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GRS 및 확장 GRS 코드를 사용하여 홀수 특성의 유한체 위에서 새로운 MDS 자기수반 코드의 클래스를 구성할 수 있는가?
• RQ2 매개변수 $q$, $n$, 그리고 코드 구조에 대해 어떤 조건이 GRS 또는 확장 GRS 코드가 자기수반임을 보장하는가?
• RQ3 기존 연구와 비교해 볼 때 새로운 구성이 생성하는 서로 다른 코드 길이의 수는 어떻게 다른가?
• RQ4 특정 $q = r^2$ 에 대해 체의 구조와 곱셈 부분군을 활용함으로써 $q$-진 MDS 자기수반 코드의 수를 상당히 증가시킬 수 있는가?

주요 결과

• 홀수인 $r$ 에 대해 $q = r^2$ 인 경우, 정리 1은 $n = tm$ 길이의 MDS 자기수반 코드를 $2 \leq t \leq \frac{r-1}{\gcd(r-1,m)}$ 이고 $\frac{q-1}{m}$ 이 짝수인 조건에서 구성하며, 이는 이전 연구보다 더 많은 클래스를 제공한다.
• 정리 2는 $tm$ 이 홀수이고 $m \mid (q-1)$, $t$ 가 동일한 범위에 있을 때 $n = tm + 1$ 길이로 확장하여 새로운 코드 가족을 도출한다.
• 정리 3은 $tm$ 이 짝수이고 동일한 $t$ 와 $m$ 의 제약 조건을 만족할 때 $n = tm + 2$ 길이의 구성법을 제공하며, 더 넓은 매개변수 공간을 확장한다.
• 정리 4는 $\mathbb{F}_{p^m}$ 위에서 $n = 2tp^e$ 길이의 코드를 구성하며, $2t \mid (p-1)$, $e < m$, $\frac{q-1}{2t}$ 가 짝수인 조건을 만족한다. 이는 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우 새로운 가족을 가능하게 한다.
• $q = 151^2$ 인 경우, 새로운 구성은 기존에 알려진 모든 결과(표 1 참조)의 243개보다 더 많은 713개의 서로 다른 코드 길이를 생성한다.
• 특히 제곱 유한체에 대해 이전 연구 [References] 의 결과를 일반화하고 확장하며, 구조화된 평가 집합과 체 이론적 성질에 기반한 새로운 매개변수 가족을 도입함으로써 결과를 보다 넓게 확장한다.